[论文解读] On the correlation of the Moebius function with random rank-one systems

Jean Bourgain|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 10

一句话总结

该论文通过分析广义Riesz积的谱测度并应用调和分析与指数和估计，建立了广义Chacon系统和Katok系统等一大类秩一动力系统中的Möbius不相交性性质。证明了Möbius函数与这些系统的轨道正交，并在构造参数满足弱条件时，将结果推广至此类系统的素数定理。

ABSTRACT

We explore the `Moebius disjointness property' in the special context of rank-one transformations and verify this phenomenon for many of the `classical' models

研究动机与目标

• 建立秩一动力系统中的Möbius不相交性性质，特别是针对非必然混合的系统。
• 将Möbius函数与符号系统轨道的正交性扩展至现有MSJ（极小自结合）结果的适用范围之外。
• 为满足特定结构条件的系统（包括某些三区间交换变换）证明点态素数定理。
• 基于广义Riesz积发展调和分析技术，以分析变换幂的谱测度及不相交性。
• 通过将分析分为两种情况（一种基于谱奇异性，另一种基于指数和估计），同时处理刚性与弱混合系统。

提出的方法

• 使用广义Riesz积表示秩一系统的最大谱类型，从而实现对变换幂的谱分析。
• 应用二分法：若填充物分布不均匀（违反(0.7)式），则系统为刚性，通过指数和估计处理；否则，通过谱测度衰减证明T^p与T^q的不相交性。
• 结合限制L1范数的指数和，使用Hardy-Littlewood圆法，将相关性与Möbius函数的界联系起来。
• 推导出指数和∑ µ(n)e(nθ) 对系统语言中词的特征函数的L1范数估计，实现O(N(log N)^{-A})的衰减。
• 引入基于填充序列的三角多项式P_j(θ)，以模拟谱行为，并证明当n → ∞时，∫ |P_j(pθ)P_j(qθ)| dθ → 0。
• 将谱技术与三区间交换系统中返回词的组合估计相结合，以验证Möbius正交性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在填充序列(an,j)与切割参数(wn)满足何种条件时，Möbius函数与秩一变换的轨道正交？
• RQ2 能否在广义Chacon映射等非混合、刚性秩一系统中建立Möbius不相交性？
• RQ3 在证明不同素数p, q的T^p与T^q不相交性时，指数和估计与谱分析在多大程度上可替代MSJ性质？
• RQ4 对于满足定理2条件的符号系统（特别是3-IETs），能否推导出点态素数定理？
• RQ5 在有界填充物的系统中，指数和∑ f(n)e(nθ) 对Möbius函数的L1范数的最优衰减速率是什么？

主要发现

• 对于所有满足wn < C且an,j < C（对所有n, j）的秩一系统，Möbius函数与轨道正交。
• 对于此类系统，指数和∑_{n=1}^N f(n)e(nθ) 对Möbius函数的L1范数衰减为O(N(log N)^{-A})，其中A > 0任意。
• 由B_{n+1} = B_n^{p_n} 1 B_n^{q_n}定义的广义Chacon系统，当p_n + q_n → ∞时，满足Möbius不相交性。
• 当p_n足够快趋于∞时，由B_{n+1} = B_n^{p_n} (B_n 1)^{p_n}定义的Katok系统满足Möbius不相交性。
• 对于满足Keane条件且对所有k有min(m_k, n_k) > C_0的三区间交换变换，系统同时满足Möbius不相交性与点态素数定理。
• 通过改进圆法，可去除误差项中的对数因子，得到估计∫ |PW| ≲ (log K)^3 Q^ε K^ε，从而可应用标准Hardy-Littlewood分析。