[论文解读] On the Cost of Deciding Consensus

Vincent D. Blondel, Alex Olshevsky|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2012

Distributed systems and fault tolerance被引用 4

一句话总结

本文引入了避免集条件作为随机矩阵集达成一致的必要且充分的组合准则，实现了对一致性的算法可判定性。研究证明，除非 P = NP，否则无法在多项式时间内判定一致性，从而确立了该问题的计算难度，尽管存在可检验的条件。

ABSTRACT

A set of stochastic matrices ${\cal P}$ is a consensus set if for every sequence of matrices $P(1), P(2), \ldots$ whose elements belong to ${\cal P}$ and every initial state $x(0)$, the sequence of states defined by $x(t) = P(t) P(t-1) \cdots P(1) x(0)$ converges to a vector whose entries are all identical. In this paper, we introduce an set for compact sets of matrices and prove in our main theorem that this explicit combinatorial condition is both necessary and sufficient for consensus. We show that several of the conditions for consensus proposed in the literature can be directly derived from the avoiding set condition. The avoiding set condition is easy to check with an elementary algorithm, and so our result also establishes that consensus is algorithmically decidable. Direct verification of the avoiding set condition may require more than a polynomial time number of operations. This is however likely to be the case for any consensus checking algorithm since we also prove in this paper that unless $P=NP$, consensus cannot be decided in polynomial time.

研究动机与目标

• 识别一个可计算的、组合性的条件，以判断一组随机矩阵是否能达到一致。
• 证明该条件对所有初始状态和矩阵序列均具有必要性和充分性。
• 展示文献中已有的共识条件均可作为避免集条件的特例推导得出。
• 分析共识决策的计算复杂度，表明其不太可能在多项式时间内求解。

提出的方法

• 作者将避免集条件定义为紧致随机矩阵集的一种组合性质。
• 证明当且仅当从该集合中抽取的所有矩阵序列均满足避免集条件时，系统才会收敛至一致。
• 该方法涉及利用随机矩阵的性质及其转移结构，分析矩阵乘积的长期行为。
• 构建了一个基本算法以验证避免集条件，从而实现算法决策。
• 通过计算难解性结果进行复杂度分析，表明共识问题的决策是 NP-难的。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个有限的、可检验的组合条件，能够刻画随机矩阵集的一致性？
• RQ2 避免集条件是否能够涵盖或统一文献中已有的共识充分条件？
• RQ3 共识是否具有算法可判定性？其计算复杂度如何？
• RQ4 共识是否可在多项式时间内判定，还是属于 NP-难问题？

主要发现

• 避免集条件对于任意紧致随机矩阵集的一致性而言，既是必要条件也是充分条件。
• 该条件可通过一个有限的、基本的算法进行检验，使得共识问题具有算法可判定性。
• 文献中所有先前提出的共识条件均可作为避免集条件的特例推导得出。
• 除非 P = NP，否则共识无法在多项式时间内判定，从而确立了该问题的 NP-难性。