[论文解读] On the Cox ring of blowing up the diagonal

Hendrik Bäker|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文计算了在射影空间积及其 $\mathbb{P}^1$-积上沿对角线的爆破的 Cox 环，通过加权普鲁克关系模去graded多项式代数，给出了显式表示。它证明了有限生成性，并将总坐标空间几何地实现为格拉斯曼流形与线性子空间的交集。

ABSTRACT

We compute the Cox rings of the blow-ups $\mathrm{Bl}_Δ(X' imes X')$ and $\mathrm{Bl}_Δ(\mathbb P_1^n)$ where $X'$ is a product of projective spaces and $Δ$ is the (generalised) diagonal.

研究动机与目标

• 计算 $X' \times X'$ 沿其对角线的爆破的 Cox 环，其中 $X'$ 是射影空间的积。
• 建立 $\mathbb{P}_1^n$ 沿其广义对角线的爆破的 Cox 环的有限生成性。
• 以生成元与关系的形式，提供这些 Cox 环的显式表示。
• 证明总坐标空间可作为仿射格拉斯曼流形与线性子空间的交集而实现。
• 将环论与球对称情形下的技术扩展至非球对称情形，如 $\mathbb{P}_1^n$。

提出的方法

• 使用 Cox 构造与总坐标空间框架，适用于除子类群有限生成的正规代数簇。
• 应用拉伸嵌入技术：通过添加对应于定义方程的变量，将原代数簇嵌入更大的toric代数簇中。
• 为 $X' \times X'$ 引入 $\mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}$-分次，为 $\mathbb{P}_1^n$ 引入 $\mathbb{Z}^{n+1}$-分次，根据除子类群结构为生成元分配次数。
• 使用加权普鲁克关系作为定义理想：对 $0 \leq i < j < k < l \leq n_r + 2$，有 $T_{ij}T_{\infty} - T_{ik}T_{jk} + T_{il}T_{jk}$ 与 $T_{ij}T_{kl} - T_{ik}T_{jk} + T_{il}T_{jk}$。
• 利用 Nakayama 引理与素性判别法，验证定义理想为素理想，从而保证 Cox 环是整环。
• 通过嵌入下的理想拉伸与限制过程（利用拉回与上推），将爆破与已知的 toric 构造联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $X'$ 是射影空间的积时，$X' \times X'$ 沿其对角线的爆破的 Cox 环的结构是什么？
• RQ2 在广义对角线爆破下，$\mathbb{P}_1^n$ 的 Cox 环在有限生成性与表示性方面表现如何？
• RQ3 此类爆破的总坐标空间能否被描述为格拉斯曼流形与线性子空间的交集？
• RQ4 在爆破与拉伸之后，定义 Cox 环的理想在何种条件下是素理想？
• RQ5 在非球对称情形（如 $\mathbb{P}_1^n$）下，除子类群与分次结构在爆破构造下如何变化？

主要发现

• $\mathrm{Bl}_{\Delta_X}(X' \times X')$ 的 Cox 环同构于 $R_X / I_X$，其中 $R_X = \mathbb{K}[T_\infty, {}_rT_{ij}]$，$I_X$ 由加权普鲁克关系生成。
• $\mathrm{Bl}_{\Delta_Y}(\mathbb{P}_1^n)$ 的 Cox 环同构于 $R_Y / I_Y$，其中 $R_Y = \mathbb{K}[S_{ij}]$，$I_Y$ 是 $n+2$ 个变量上的经典普鲁克关系的理想。
• $R_X / I_X$ 的分次显式给出：$\deg(T_\infty) = (0,0,1)$，$\deg({}_rT_{ij}) = (e_r,0,0)$ 若 $j = n_r+1$，$(0,e_r,0)$ 若 $j = n_r+2$，其余情况为 $(e_r,e_r,-1)$。
• $R_Y / I_Y$ 的分次满足：若 $j = n+1,n+2$ 且 $i \leq n$，则 $\deg(S_{ij}) = e_i$；若 $i = n+1, j = n+2$，则 $\deg(S_{ij}) = e_{n+1}$；其余情况为 $e_i + e_j - e_{n+1}$。
• 通过证明 $I_X + \langle T_\infty \rangle$ 为素理想并应用分次 Nakayama 引理，得出 $I_X$ 为素理想。
• $\mathrm{Bl}_{\Delta_Y}(\mathbb{P}_1^n)$ 的 Cox 环被实现为多项式环模普鲁克关系的商的谱，其特定的 $\mathbb{Z}^{n+1}$-分次反映了爆破的除子类群结构。