[论文解读] On the critical branching random walk II: Branching capacity and branching recurrence

Qingsan Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文针对 $\pi^{d}$ 上的临界分支随机游走（$d \geq 5$）引入了分支常返与暂留的概念，并利用分支容量建立了类似维纳（Wiener）的判别准则。研究证明：集合 $K$ 是分支常返当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{BCap}(K_n)}{2^{n(d-4)}} = \infty$，将经典常返性准则推广至分支过程，并表明在 $\mathbb{Z}^d$ 中当 $d \leq 4$ 时，初生无限分支随机游走以概率 1 无限次访问每个顶点。

ABSTRACT

We continue our study of critical branching random walk and branching capacity. In this paper we introduce branching recurrence and branching transience and prove an analogous version of Wiener's Test.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{Z}^d$（$d \geq 5$）上的临界分支随机游走定义并刻画分支常返与暂留性，基于初生无限分支随机游走（条件于存活）。
• 建立一种新的维纳测试版本，用于分支常返性，类比于简单随机游走的经典测试。
• 研究分支常返性对后代分布与跳跃分布的依赖性。
• 将低维情形（$d \leq 4$）下已知的常返性结果推广至分支过程设定。

提出的方法

• 利用先前工作 [6] 中的势论方法，为 $\mathbb{Z}^d$ 的有限子集 $K$ 定义分支容量 $\text{BCap}(K)$。
• 通过初生无限分支随机游走（条件于存活）定义分支常返性，类比于使用归一化势测度的经典维纳测试。
• 建立一个维纳型测试：当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{BCap}(K_n)}{2^{n(d-4)}} = \infty$ 时，$K$ 是分支常返，其中 $K_n = \{a \in K : 2^n \leq |a| < 2^{n+1}\}$。
• 利用 $\mathbb{Z}^d$ 中球体的分支容量估计，特别是当 $m \geq d-3$ 时 $\text{BCap}(B^m(r)) \asymp r^{d-4}$，分析子空间中的常返性。
• 应用比较技巧与格林函数估计，通过分支容量的单调性与标度性质，控制访问多个集合的概率。
• 证明分支常返性与特定非退化临界后代分布（具有有限三阶矩）无关，依赖于此类 $\mu$ 之间分支容量的可比性。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界分支随机游走的正确类比于经典常返/暂留性的概念是什么？
• RQ2 如何利用分支容量构造一个用于分支常返性的维纳型测试？
• RQ3 在 $\mathbb{Z}^d$ 中当 $d \leq 4$ 时，初生无限分支随机游走是否以概率 1 无限次访问每个顶点？
• RQ4 分支常返性是否依赖于具有有限三阶矩的后代分布的选择？
• RQ5 在 $\mathbb{Z}^d$ 中，分支容量的标度行为如何影响低维子空间中的常返性？

主要发现

• 建立了一种新的维纳型分支常返测试：当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{BCap}(K_n)}{2^{n(d-4)}} = \infty$ 时，$K$ 是分支常返。
• 当 $d \leq 4$ 时，$\mathbb{Z}^d$ 中的初生无限分支随机游走以概率 1 无限次访问每个顶点，推广了文献 [2] 中的结果。
• $\mathbb{Z}^i$ 子空间（$i \leq 4$）是分支常返的，这通过 $\text{BCap}(B^{d-i}(r))$ 的渐近行为与主定理得以证明。
• 分支常返性与后代分布无关：若对某一非退化临界 $\mu$（具有有限三阶矩）有 $K$ 是分支常返，则对所有此类 $\mu$ 均成立。
• 球体 $B^m(r)$ 的分支容量满足：当 $m \geq d-3$ 时 $\text{BCap}(B^m(r)) \asymp r^{d-4}$；当 $m = d-4$ 时为 $r^{d-4}/\log r$；当 $m \leq d-5$ 时为 $r^m$，该结果支撑了常返性结论。
• 证明依赖于估计从 $z$ 出发的分支随机游走同时访问集合 $A$ 与 $B$ 的概率，利用格林函数及对 $\mathbf{p}_A(z)$ 与 $\mathbf{q}_B(z)$ 的界，导出关键不等式 $\sum_z G_{A\cup B}(0,z) P(\mathcal{S}_z \text{ 同时访问 } A \& B) \preceq \mathbf{q}_A(0)\mathbf{q}_B(0)$。