[论文解读] On the crossing number of some complete multipartite graphs

Pak Tung Ho|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文通过扩展Kleitman对$K_{5,n}$的结果，并结合组合计数论证与绘图的结构分析，确定了四个完全多部图的交叉数——$K_{1,1,1,1,n}$、$K_{1,2,2,n}$、$K_{1,1,1,2,n}$ 和 $K_{1,4,n}$。其主要贡献在于建立了精确公式，将完全二部图的Zarankiewicz猜想推广至这些多部图情形。

ABSTRACT

In this paper, we find the crossing number of the complete multipartite graphs $K_{1,1,1,1,n}$, $K_{1,2,2,n}$, $K_{1,1,1,2,n}$ and $K_{1,4,n}$.

研究动机与目标

• 确定完全多部图在广为人知的完全二部图情形之外的交叉数。
• 将Zarankiewicz对$K_{m,n}$交叉数的猜想扩展至特定的完全4-部与5-部图。
• 使用结构与组合方法，为$K_{1,1,1,1,n}$、$K_{1,2,2,n}$、$K_{1,1,1,2,n}$ 和 $K_{1,4,n}$ 提供交叉数的精确公式。
• 通过构造实现所声称交叉数的绘图，并利用归纳法与计数法证明下界，验证所提公式的紧致性。

提出的方法

• 以Kleitman关于$K_{5,n}$交叉数的结果为基础工具，推导多部图交叉数的界限。
• 对从$n$-部集抑制一个顶点所形成的子图应用递归计数论证，将$K_{1,1,1,1,n}$的交叉数与$K_{1,1,1,1,n-1}$的交叉数关联起来。
• 对$K_{2,3}$与$K_{1,2,2}$的非同构绘图进行情形分析，以限制具有高阶边界区域的数量，从而影响交叉计数。
• 使用分解公式$cr_{ heta}(A igcup B) = cr_{ heta}(A) + cr_{ heta}(B) + cr_{ heta}(A,B)$ 将边集分割，计算总交叉数。
• 利用归纳法与不等式链推导交叉数的下界，证明任何更小的值都会与子图的已知交叉数产生矛盾。
• 对于$K_{1,4,n}$，基于多个子绘图中边交叉的简单计数论证，避免依赖结构化绘图。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全5-部图$K_{1,1,1,1,n}$的交叉数是多少？能否用Zarankiewicz函数$Z(4,n)$表示？
• RQ2 $K_{1,2,2,n}$的交叉数与$Z(5,n)$相比如何？$K_{1,2,2}$的非同构绘图在确定界限中起什么作用？
• RQ3 能否使用类似技术确定$K_{1,1,1,2,n}$的交叉数？其值是否恰好比$Z(5,n)$大$2n$？
• RQ4 $K_{1,4,n}$的交叉数是多少？其是否遵循$Z(5,n) + 2\big\rfloor{n/2}\big\rfloor$的模式？
• RQ5 $K_{1,1,3,n}$与$K_{2,4,n}$的所提公式是否成立？能否使用相同方法证明？

主要发现

• 完全多部图$K_{1,1,1,1,n}$的交叉数恰好为$Z(4,n) + n$，其中$Z(4,n)$是$K_{4,n}$的Zarankiewicz函数。
• $K_{1,2,2,n}$的交叉数为$Z(5,n) + \big\rfloor{3n/2}\big\rfloor$，其推导基于$K_{1,2,2}$绘图的结构分析与边交叉分解。
• $K_{1,1,1,2,n}$的交叉数为$Z(5,n) + 2n$，通过情形分析与对$n$的归纳法得到验证。
• $K_{1,4,n}$的交叉数为$Z(5,n) + 2\big\rfloor{n/2}\big\rfloor$，通过在子绘图上的基本计数论证确立。
• 本文证明，任何$K_{1,4,n}$的绘图若交叉数少于$Z(5,n) + 2\big\rfloor{n/2}\big\rfloor$，将与子图的已知交叉数产生矛盾。
• 后续研究证实了$K_{1,1,3,n}$与$K_{2,4,n}$的猜想值，验证了本文方法论的有效性。