[论文解读] On the cube of the equivariant linking pairing for knots and 3-manifolds of rank one

Christine Lescop|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 12

一句话总结

本文引入了一种针对第一贝蒂数为一的纽结与3-流形的等变立方不变量，记为$\mathcal{Q}$，其构造基于无限循环覆叠中的等变布莱安希夫 linking 对。该文建立了手术公式，并表明当亚历山大多项式无重根时，商不变量$\overline{\mathcal{Q}}(M)$能检测到与具有非平凡 Casson-Walker 不变量的有理同调球面的连通和；且该不变量在猜想下与大塚的 LMO 基不变量的两圈部分等价。

ABSTRACT

Let M be a closed oriented 3-manifold with first Betti number one. Its equivariant linking pairing may be seen as a two-dimensional cohomology class in an appropriate infinite cyclic covering of the space of ordered pairs of distinct points of M. We show how to define the equivariant cube Q(K) of this Blanchfield pairing with respect to a framed knot K that generates H_1(M)/Torsion. This article is devoted to the study of the invariant Q. We prove many properties for this invariant including two surgery formulae. Via surgery, the invariant Q is equivalent to an invariant of null-homologous knots in rational homology spheres, that coincides with the two-loop part of the Kricker rational lift of the Kontsevich integral, at least for knots with trivial Alexander polynomial in integral homology spheres.

研究动机与目标

• 为第一贝蒂数为一的3-流形中的 framed 纽结定义一个新的不变量$\mathcal{Q}(\mathbb{K})$，其来源于等变 linking 对。
• 建立手术公式，将$\mathcal{Q}$与有理同调球面上零同调纽结的不变量联系起来。
• 定义商不变量$\overline{\mathcal{Q}}(M)$，以捕捉模不同生成纽结引起的变动的拓扑信息。
• 研究$\mathcal{Q}$与基克里奇有理化 Kontsevich 积分的两圈部分之间的关系。
• 确定当$\overline{\mathcal{Q}}(M)$能检测到具有非零 Casson-Walker 不变量的有理同调球面的非平凡连通和时的条件。

提出的方法

• 将等变 linking 对提升为在$M$中有序不同点对的配置空间$\widetilde{C}_2(M)$的无限循环覆叠中的上同调类。
• 将等变立方$\mathcal{Q}(\mathbb{K})$定义为表示该 pairing 的闭2-形式的立方在适当配置空间上的积分。
• 通过分析$\mathcal{Q}$在生成$H_1(M;\mathbb{Z})/\text{Torsion}$的 framed 纽结上进行 Dehn 手术时的变换，推导出手术公式。
• $\mathcal{Q}$ 取值于$\mathbb{Q}$上的多项式环$R$，通过识别$\mathcal{Q}(\mathbb{K}') - \mathcal{Q}(\mathbb{K})$的子空间来定义商$\overline{\mathcal{Q}}(M)$。
• 使用洛朗多项式与亚历山大多项式$\Delta(M)$的代数技巧，分析$\delta(x)\delta(y)\delta(z)$在环$\Lambda(M)$中何时为零，从而确定连通和分量的可检测性。
• 本文利用 Garoufalidis 和 Rozansky 的结果，证明当积分同调球面上的纽结具有平凡亚历山大多项式时，$\hat{\mathcal{Q}}(\hat{K})$与基克里奇有理化 Kontsevich 积分的两圈部分一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将第一贝蒂数为一的3-流形的等变 linking 对进行立方化，以定义一个新的拓扑不变量？
• RQ2 Dehn 手术下$\mathcal{Q}$的行为由何种手术公式控制？
• RQ3 $\mathcal{Q}$与基克里奇有理化 Kontsevich 积分的两圈部分有何关系？
• RQ4 在何种条件下，商不变量$\overline{\mathcal{Q}}(M)$能检测到与有理同调球面的非平凡连通和？
• RQ5 $\overline{\mathcal{Q}}(M)$是否在猜想下与大塚的 LMO 基不变量的两圈部分等价？

主要发现

• 不变量$\mathcal{Q}(\mathbb{K})$在第一贝蒂数为一的3-流形$M$中，对生成$H_1(M;\mathbb{Z})/\text{Torsion}$的 framed 纽结$\mathbb{K}$是良好定义的。
• 手术公式表明$\mathcal{Q}$等价于有理同调球面上零同调纽结的不变量$\hat{\mathcal{Q}}$。
• 当积分同调球面上的纽结具有平凡亚历山大多项式时，$\hat{\mathcal{Q}}(\hat{K})$与基克里奇有理化 Kontsevich 积分的两圈部分一致。
• 当$\Delta(M)$无重根时，若$M$是与具有非零 Casson-Walker 不变量的有理同调球面的连通和，则商不变量$\overline{\mathcal{Q}}(M)$非平凡。
• $R$ 中由$\mathcal{Q}(\mathbb{K}') - \mathcal{Q}(\mathbb{K})$生成的子空间可代数确定，且$\overline{\mathcal{Q}}(M)$被定义为$\mathcal{Q}(\mathbb{K})$在商中的类。
• 当$\Delta(M)$无重根时，$\delta(x)\delta(y)\delta(z)$在$\Lambda(M)$中不为零，从而保证对于具有非平凡 Walker 不变量的有理同调球面$N$，有$\overline{\mathcal{Q}}(M\sharp N) \neq \overline{\mathcal{Q}}(M)$。