[论文解读] On the Curling Number of Certain Graphs

Johan Kok, Sudev Naduvath+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过分析度序列中的最大子序列，引入了图的卷曲数和复合卷曲数，证明了卷曲数猜想对连通简单图成立，并推导出集合图和雅科图的精确公式。关键结果包括：集合图的卷曲数为 $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$，其复合卷曲数为 $\prod_{i=1}^n \binom{n}{i}$，当且仅当 $n$ 为奇数时该复合卷曲数为完全平方数。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the concept of curling subsequence of simple, finite and connected graphs. A curling subsequence is a maximal subsequence $C$ of the degree sequence of a simple connected graph $G$ for which the curling number $cn(G)$ corresponds to the curling number of the degree sequence per se and hence we call it the curling number of the graph $G$. A maximal degree subsequence with equal entries is called an identity subsequence. The number of identity curling subsequences in a simple connected graph $G$ is denoted $ic(G).$ We show that the curling number conjecture holds for the degree sequence of a simple connected graph $G$ on $n \geq 1$ vertices. We also introduce the notion of the compound curling number of a simple connected graph $G$ and then initiate a study on the curling number of certain standard graphs like Jaco graphs and set-graphs.

研究动机与目标

• 将卷曲数的概念从整数序列扩展到有限、简单、连通图的度序列。
• 定义并分析新的图参数：卷曲子序列、卷曲数、恒等卷曲子序列、卷曲指数和复合卷曲数。
• 研究在图度序列背景下卷曲数猜想的有效性。
• 确定标准图族（尤其是集合图和雅科图）的卷曲数和复合卷曲数。
• 探索这些新图参数的数论性质，特别是针对集合图。

提出的方法

• 将卷曲子序列定义为度序列中具有最大卷曲数的最大子序列。
• 将图的卷曲数定义为其卷曲子序列的卷曲数。
• 将复合卷曲数定义为度序列中每个不同度数的重数的乘积。
• 通过度序列的组合分析，特别是利用集合图中具有相同子集基数的顶点具有相同度数的对称性。
• 应用已知的二项式系数和超阶乘结果，推导复合卷曲数的闭式表达式。
• 利用恒等式 $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ 分析复合卷曲数的平方性。

实验结果

研究问题

• RQ1 卷曲数猜想对任意有限、简单、连通图的度序列是否成立？
• RQ2 对于大小为 $n$ 的有限集合 $A^{(n)}$ 的集合图 $G_{A^{(n)}}$，其卷曲数是多少？
• RQ3 集合图的复合卷曲数是多少，何时为完全平方数？
• RQ4 是否存在非正则图使得其卷曲数与复合卷曲数相等？若存在，如何对其进行刻画？
• RQ5 一个生成子图的卷曲数和复合卷曲数与原正则图相比如何？

主要发现

• 对于任意有限、简单、连通图 $G$（$n \geq 1$ 个顶点），卷曲数猜想在其度序列上成立。
• 集合图 $G_{A^{(n)}}$ 的卷曲数为 $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$，即 $n$ 的最大二项式系数。
• 集合图 $G_{A^{(n)}}$ 的复合卷曲数为 $\prod_{i=1}^n \binom{n}{i}$，其值等于 $\frac{1}{(n!)^{n+1}} \left( \prod_{i=1}^n i^i \right)^2 - 1$。
• 集合图的复合卷曲数为完全平方数，当且仅当 $n$ 为奇数。
• 图 $G$ 中卷曲子序列的数量为 $1$（若 $ic(G) = 1$），否则为 $ic(G) + ic(G)!$。
• 对于度序列 $(3,5,3,3,5,5,6)$，卷曲数为 $3$，可通过子序列如 $(3,3,3)$、$(5,5,5)$、$(3,5,3,5,3,5)$ 和 $(5,3,5,3,5,3)$ 实现。