[论文解读] On the curvature of tensor product connections and covariant differentials

Josef Janyška|ArXiv.org|Apr 3, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 11

一句话总结

本文推导了在相同基流形上的两个向量丛上两个线性联络的张量积联络的曲率的坐标公式和几何描述。引入了利用向量丛上的线性联络和基流形上的对称线性联络对张量场的一般化协变微分，证明了广义Bianchi恒等式，并表明二阶协变微分的反对称化可由两个联络的曲率张量表示。

ABSTRACT

We give coordinate formula and geometric description of the curvature of the tensor product connection of linear connections on vector bundles with the same base manifold. We define the covariant differential of geometric fields of certain types with respect to a pair of a linear connection on a vector bundle and a linear symmetric connection on the base manifold. We prove the generalized Bianchi identity for linear connections and we prove that the antisymmetrization of the second order covariant differential is expressed via the curvature tensors of both connections.

研究动机与目标

• 提供在相同基流形上的两个向量丛上两个线性联络的张量积联络的曲率的坐标公式和几何描述。
• 通过向量丛上的线性联络和基流形上的对称线性联络，定义几何场（张量丛、其对偶丛以及切丛/余切丛的张量积的截面）的协变微分。
• 将经典Bianchi恒等式推广到线性联络的情形，并证明二阶协变微分的反对称化由两个联络的曲率张量决定。
• 建立张量积联络的曲率与各独立联络曲率之间的精确关系。

提出的方法

• 使用Froelicher-Nijenhuis括号将线性联络的曲率定义为取值于垂直丛的垂直2-形式。
• 使用涉及联络系数 $K_j^i{}_{\lambda}$ 及其导数的坐标表达式，将张量积联络 $K \otimes K'$ 的曲率表示为 $K$ 和 $K'$ 的曲率的函数。
• 引入一种混合协变微分 $\nabla = \nabla^{(K,\Gamma)}$，结合向量丛上的线性联络 $K$ 和基流形上的对称线性联络 $\Gamma$。
• 将广义Bianchi恒等式 $[K, R[K]] = 0$ 作为基础工具，推导高阶协变导数的恒等式。
• 使用涉及 $K$ 和 $\Gamma$ 两种联络的坐标表达式，表示类型为 $(p,r)_{q,s}$ 的张量场 $\Phi$ 的二阶协变微分 $\nabla^2\Phi$。
• 对二阶协变微分应用反对称化 $\operatorname{Alt}$，并推导其关于 $K$ 和 $\Gamma$ 的曲率张量的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量积联络 $K \otimes K'$ 的曲率如何用坐标和几何方式表示为 $K$ 和 $K'$ 的曲率的函数？
• RQ2 当向量丛及其对偶丛与切丛/余切丛的张量积被赋予向量丛上的线性联络和基流形上的对称联络时，其张量场的协变微分结构是怎样的？
• RQ3 当与基流形上的对称联络结合时，线性联络的曲率张量的协变微分是否满足广义Bianchi恒等式？
• RQ4 二阶协变微分的反对称化与底层联络的曲率张量之间有何关系？

主要发现

• 张量积联络 $K \otimes K'$ 的曲率完全由 $K$ 和 $K'$ 的曲率决定，其坐标表达式为 $R[K \otimes K']_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu} = R[K]_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu} + R[K']_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu}$。
• 广义Bianchi恒等式成立：$R[K]_{j}{}^{i}{}_{\lambda\mu;\nu} + R[K]_{j}{}^{i}{}_{\mu\nu;\lambda} + R[K]_{j}{}^{i}{}_{\nu\lambda;\mu} = 0$，其中分号表示对联络 $\nabla^{(K,\Gamma)}$ 的协变导数。
• 张量场 $\Phi$ 的二阶协变微分的反对称化满足 $\operatorname{Alt}\nabla^2\Phi = -\frac{1}{2} R[\Gamma^p_q \otimes K^r_s] \circ \Phi$，结果以张量积联络的曲率表示。
• 对于截面 $\Phi = \phi^i \mathbf{b}_i$，反对称化的二阶协变导数为 $\operatorname{Alt}\nabla^2\Phi = -\frac{1}{2} R[K]_j{}^i{}_{\lambda\mu} \phi^j \mathbf{b}_i \otimes d^\lambda \wedge d^\mu$。
• 曲率张量 $R[K]$ 的二阶协变微分满足 $\operatorname{Alt}\nabla^2 R[K] = -\frac{1}{2} \big( R[K]_p{}^i{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^p{}_{\lambda\mu} - R[K]_j{}^p{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_p{}^i{}_{\lambda\mu} - R[\Gamma]_\lambda{}^\omega{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^i{}_{\omega\mu} - R[\Gamma]_\mu{}^\omega{}_{\nu_1\nu_2} R[K]_j{}^i{}_{\lambda\omega} \big) \mathbf{b}^j \otimes \mathbf{b}_i \otimes d^\lambda \wedge d^\mu \otimes d^{\nu_1} \wedge d^{\nu_2}$。
• 当 $p = q = 0$ 时，协变微分 $\nabla\Phi$ 退化为经典对称联络 $\Gamma$ 下 $(r,s)$-张量场的标准协变导数，与经典微分几何一致。