[论文解读] On the cyclic Formality conjecture

Boris Shoikhet|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 13

一句话总结

本文提出了一个循环 $L_∞$-同构的显式公式，将孔恩采维奇的形式性定理推广至循环同调。通过构建康奈斯-采甘双复形的上同调版本，证明了第一个泰勒分量——循环霍赫希尔德-科斯塔nt-罗森伯格映射——是同调群的拟同构，并表明这蕴含了辛流形上存在闭星积，从而证实了康奈斯-弗拉托-施特奈默猜想的一个改进版本。

ABSTRACT

We conjecture an explicit formula for a cyclic analog of the Formality $L_{\infty}$-morphism [K]. We prove that its first Taylor component, the cyclic Hochschild-Kostant-Rosenberg map, is in fact a morphism (and a quasiisomorphism) of the complexes. To prove it we construct a cohomological version of the Connes-Tsygan bicomplex in cyclic homology. As an application of the cyclic Formality conjecture, we obtain an explicit formula for cyclically invariant deformation quantization.We show that (a more precise version of) the Connes-Flato-Sternheimer conjecture [CFS] on the existence of closed star-products on a symplectic manifold also follows from our conjecture.

研究动机与目标

• 提出孔恩采维奇形式性 $L_\infty$-拟同构的循环类比。
• 证明循环霍赫希尔德-科斯塔nt-罗森伯格映射在循环同调的复形中是拟同构。
• 在循环同调中构建康奈斯-采甘双复形的上同调版本。
• 建立循环形式性猜想与辛流形上闭星积存在性之间的联系。
• 为康奈斯-弗拉托-施特奈默猜想的一个改进版本提供新的证明。

提出的方法

• 提出一个显式公式，构造一个扩展孔恩采维奇形式性定理的循环 $L_\infty$-同构。
• 将循环霍赫希尔德-科斯塔nt-罗森伯格映射定义为所提同构的第一个泰勒分量。
• 构建康奈斯-采甘双复形的上同调版本，以在形式性背景下分析循环同调。
• 利用上同调双复形证明循环 HKR 映射是拟同构。
• 应用循环形式性猜想，推导出循环不变形变的显式公式。
• 从猜想推导出辛流形上闭星积的存在性，从而证实了康奈斯-弗拉托-施特奈默猜想的一个改进版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个在形变量子化中尊重循环对称性的显式 $L_\infty$-同构？
• RQ2 在循环同调的背景下，循环霍赫希尔德-科斯塔nt-罗森伯格映射是否为复形的拟同构？
• RQ3 能否利用康奈斯-采甘双复形的上同调版本证明循环情形下的形式性？
• RQ4 循环形式性猜想是否蕴含辛流形上闭星积的存在性？
• RQ5 该猜想是否为形变量子化中的循环不变形变提供了具体的公式？

主要发现

• 所提循环 $L_\infty$-同构的第一个泰勒分量——循环霍赫希尔德-科斯塔nt-罗森伯格映射——被证明是复形的拟同构。
• 构建了康奈斯-采甘双复形的上同调版本，使得在形式性背景下分析循环同调成为可能。
• 循环形式性猜想蕴含了任意辛流形上存在闭星积，从而证实了康奈斯-弗拉托-施特奈默猜想的一个改进版本。
• 从循环形式性猜想中推导出了循环不变形变的显式公式。
• 该猜想为将孔恩采维奇形式性定理推广至循环情形提供了系统性的框架。
• 结果在循环同调、形变量子化与辛几何之间建立了深刻的联系。