[论文解读] On the cyclic homology of ringed spaces and schemes

Bernhard Keller|ArXiv.org|Feb 2, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 79

一句话总结

本文建立了具有充足线丛的概形 X 的循环同调与其实代数向量丛范畴的导出循环同调之间的典范同构。通过利用局部化对构造完美复形的陈类的新方法，作者证明了 HC∗(X) ≅ HCder∗(vec(X))，并进一步推广至准紧分离概形上 HC∗(X) ≅ HC∗(per X)。该结果为循环同调提供了计算工具，并证明了导出循环同调框架相较于其他定义更具合理性。

ABSTRACT

We prove that the cyclic homology of a scheme with an ample line bundle coincides with the cyclic homology of its category of algebraic vector bundles. As a byproduct of the proof, we obtain a new construction of the Chern character of a perfect complex on a ringed space.

研究动机与目标

• 建立具有充足线丛的概形 X 的循环同调与其实代数向量丛范畴的导出循环同调之间的同构关系。
• 通过局部化对与导出循环同调，为环化空间上完美复形提供一种新的陈类构造方法。
• 通过证明其在仿射概形之外仍具合理性，来证明导出循环同调理论 HCder∗ 的自然扩展性，从而超越麦卡锡早期的定义。
• 通过比较上同调方法并证明在有限维条件下的一致性，解决在定义概形循环同调时的基础性问题。
• 通过局部化对 per X 推广同构关系，证明对任意准紧分离概形 X，有 HC∗(X) ≅ HC∗(per X)。

提出的方法

• 通过导出范畴模型定义 k-线性精确范畴 A 的 HCder∗(A)，推广 Quillen 的 K-理论框架。
• 对任意带有 k-代数层的环化空间 X，利用层化循环双复 CC(OX) 构造自然映射 HC∗(per X) → HC∗(X)。
• 利用 per X（完美复形与零化复形）的局部化对结构，通过文献 [18] 的框架定义 HC∗(per X)。
• 证明对具有充足线丛的概形，有 HCder∗(vec(X)) ≅ HC∗(per X)，从而将向量丛与完美复形联系起来。
• 利用典范函子 D(Qcoh X) → DqcX 及 Brown 表示性定理，证明 OX 是 DqcX 中的紧生成元，从而实现导出范畴的比较。
• 应用 Mittag-Leffler 引理与逆极限正合性，控制 CC(OX) 的上同调计算中同调消失的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有充足线丛的概形 X，其代数向量丛范畴的导出循环同调 HCder∗(vec(X)) 是否同构于概形 X 本身的循环同调 HC∗(X)？
• RQ2 能否通过局部化对与循环同调，独立于早期方法，构造环化空间上完美复形的陈类？
• RQ3 导出循环同调理论 HCder∗ 是否自然地将循环同调扩展至仿射概形之外，而麦卡锡的定义则不能？
• RQ4 对任意准紧分离概形 X，其循环同调是否同构于其完美复形范畴 per X 的循环同调 HC∗(per X)？
• RQ5 层化循环复形 CC(OX) 的上同调与底层代数结构的循环同调之间有何关系？

主要发现

• 对任意定义在域 k 上且具有充足线丛的概形 X，存在典范同构 HC∗(X) ≅ HCder∗(vec(X))。
• 完美复形 P 在 X 上的陈类被实现为 HC∗(per pt) → HC∗(per X) → HC∗(X) 的复合下，ch([k]) ∈ HC∗(k) 的像，从而提供了一种新的构造方法。
• 对具有倾斜丛的光滑射影概形，陈类诱导出同构 K0(X) ⊗Z HC∗(k) ≅ HC∗(X)，从而实现显式计算。
• 导出循环同调 HCder∗(A) 与麦卡锡的 HCMcC∗(proj(A)) 在 k-代数 A 上一致，但其理论可推广至麦卡锡理论失效的非仿射概形。
• 对任意准紧分离概形 X，其概形的循环同调同构于局部化对完美复形的循环同调 HC∗(per X)。
• 典范函子 D(Qcoh X) → DqcX 是一个等价，该结果用于证明 OX 是 DqcX 中的紧生成元，从而支持导出范畴的比较。