[论文解读] On the cyclic subgroup separability of free products of two groups with amalgamated subgroup

E. V. Sokolov|ArXiv.org|Aug 21, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文建立了在具有循环合并子群的自由积中，$p$-可分化的 $p'$-孤立循环子群的充分条件。证明表明，若自由因子为自由群或有限生成的剩余 $p$-有限幂零群，则自由积的剩余 $p$-有限性蕴含所有 $p'$-孤立循环子群的 $p$-可分性，从而推广了关于合并积中子群可分性的已知结果。

ABSTRACT

Let $G$ be a free product of two groups with amalgamated subgroup, $π$ be either the set of all prime numbers or the one-element set \{$p$\} for some prime number $p$. Denote by $Σ$ the family of all cyclic subgroups of group $G$, which are separable in the class of all finite $π$-groups. Obviously, cyclic subgroups of the free factors, which aren't separable in these factors by the family of all normal subgroups of finite $π$-index of group $G$, the subgroups conjugated with them and all subgroups, which aren't $π^{\prime}$-isolated, don't belong to $Σ$. Some sufficient conditions are obtained for $Σ$ to coincide with the family of all other $π^{\prime}$-isolated cyclic subgroups of group $G$. It is proved, in particular, that the residual $p$-finiteness of a free product with cyclic amalgamation implies the $p$-separability of all $p^{\prime}$-isolated cyclic subgroups if the free factors are free or finitely generated residually $p$-finite nilpotent groups.

研究动机与目标

• 确定自由积中具有循环合并子群的所有 $p'$-孤立循环子群 $p$-可分化的条件。
• 将关于循环子群可分性的已知结果推广至具有合并子群的自由积情形。
• 刻画在该类合并积中，有限 $p$-群类内可分的循环子群族。
• 研究整个群的 $p$-有限性与其中 $p'$-孤立循环子群的 $p$-可分性之间的关系。
• 将 $H$-滤子和 $K$-滤子的概念推广，以在合并积设定下建立可分性的充分条件。

提出的方法

• 本文利用自由因子 $A$ 和 $B$ 中的 $H$-滤子和 $K$-滤子，分析合并积 $G = A*_H B$ 中的可分性。
• 定义了有限指数正规子群族 $\Omega_A$ 和 $\Omega_B$，其满足 $(H,K,\varphi)$-相容性，并利用它们刻画循环子群的可分性。
• 证明依赖于分析在所有到有限 $p$-群的同态下不映射到单位元的元素，特别关注换位子和中心化子。
• 应用如下性质：若一个子群在有限 $p$-群类中不可分，则存在一个不在该子群中的元素，其在所有此类同态下都映射到该子群中。
• 论证利用了 $G$ 中循环子群的结构，特别是那些共轭于 $A$ 或 $B$ 中子群的子群，并考察其在到有限 $p$-群的同态下的行为。
• 利用了 $p'$-孤立子群是其阶与 $p$ 互素的子群这一事实，并利用此性质排除会与剩余 $p$-有限性矛盾的非平凡换位子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有循环合并的自由积中的所有 $p'$-孤立循环子群都是 $p$-可分的？
• RQ2 合并积的剩余 $p$-有限性与其 $p'$-孤立循环子群的 $p$-可分性之间有何关系？
• RQ3 $H$-滤子和 $K$-滤子在自由因子中的作用如何确保合并积中循环子群的可分性？
• RQ4 当自由因子为自由群或有限生成的剩余 $p$-有限幂零群时，是否能保证 $p'$-孤立循环子群的 $p$-可分性？
• RQ5 对合并子群和自由因子的何种结构约束可防止非平凡换位子在所有 $p$-群同态下被平凡化？

主要发现

• 若自由因子 $A$ 和 $B$ 为自由群或有限生成的剩余 $p$-有限幂零群，则 $G$ 的剩余 $p$-有限性蕴含所有 $p'$-孤立循环子群的 $p$-可分性。
• 所有 $p$-可分的 $p'$-孤立循环子群族与所有不共轭于 $\Lambda_A^p \cup \Lambda_B^p$ 中任何子群的子群族一致，其中 $\Lambda_A^p$ 和 $\Lambda_B^p$ 分别为不被 $\Omega_A^p$ 和 $\Omega_B^p$ 中子群可分的循环子群族。
• 若 $\Omega_A$ 是 $H$-滤子且 $\Omega_B$ 是 $K$-滤子，则所有不共轭于 $\Lambda_A^p \cup \Lambda_B^p$ 中元素的 $p'$-孤立循环子群均 $p$-可分，此条件推广了早期关于剩余有限性的结果。
• 若 $G$ 的循环子群 $\langle u \rangle$ 为 $p'$-孤立但非 $p$-可分，则对所有到有限 $p$-群的同态 $\psi$，满足 $v\psi \in \langle u\psi \rangle$ 的任意元素 $v$ 必须与 $u$ 交换，除非 $u$ 共轭于 $A$ 或 $B$ 中的子群，否则将导致矛盾。
• 本文证明，若对所有 $b \in B \setminus K$ 有 $b^{-1}Kb \cap K \neq 1$，则可构造一个非平凡换位子 $g = [b^{-1}f_n b, f_n]$，其在所有 $p$-群同态下均映射到单位元，从而与剩余 $p$-有限性矛盾。
• 证明最终得出 $b^{-1}Kb \cap K = 1$ 对所有 $b \in B \setminus K$ 成立，这是 $G$ 中 $p'$-孤立循环子群 $p$-可分性的必要条件。