[论文解读] On the de Rham cohomology of solvmanifolds

Sergio Console, Anna Fino|ArXiv.org|Dec 10, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文利用 D. Witte 关于可解李群中格的超刚性定理，对 D. Guan 关于紧致可解流形的 de Rham 上同调结果提供了新的证明。研究结果表明，对于任意紧致可解流形 $G/\Gamma$，存在一个有限指数子群 $\tilde{\Gamma}$ 和一个微分同胚的可解流形 $\tilde{G}/\tilde{\Gamma}$，使得满足 Mostow 条件，从而即使原始的 $G$ 和 $\Gamma$ 不满足该条件，也能通过李代数上同调计算 de Rham 上同调。

ABSTRACT

By using results by D. Witte on the superigidity of lattices in solvable Lie groups we get a different proof of a recent remarkable result obtained by D. Guan on the de Rham cohomology of a compact solvmanifold, i.e. of a quotient of a connected and simply connected solvable Lie group $G$ by a lattice $Γ$. This result can be applied to compute the Betti numbers of a compact solvmanifold $G/Γ$ even in the case that the solvable Lie group $G$ and the lattice $Γ$ do not satisfy the Mostow condition.

研究动机与目标

• 利用超刚性定理，为 Guan 关于紧致可解流形 de Rham 上同调结果提供一种替代证明。
• 证明存在一个有限指数子群 $\tilde{\Gamma}$ 和一个微分同胚的可解流形 $\tilde{G}/\tilde{\Gamma}$，使得满足 Mostow 条件。
• 即使 $G$ 和 $\Gamma$ 不满足 Mostow 条件，也能通过李代数上同调 $H^{*}(\mathfrak{g})$ 计算 de Rham 上同调 $H^{*}_{dR}(G/\Gamma)$。
• 将上同调计算的适用范围扩展至非 Mostow 情况下的可解流形，尤其在几乎阿贝尔李群的背景下。

提出的方法

• 利用 D. Witte 关于可解李群中格的超刚性结果，改进 Malcev 分解构造。
• 构造一个新的单连通可解李群 $\tilde{G}$，作为半直积 $T_{cpt} \ltimes G$，其中 $T_{cpt}$ 是一个紧致环面。
• 识别一个有限指数子群 $\tilde{\Gamma} \subset \Gamma$，使得 $\mathcal{A}(Ad_{\tilde{G}}(\tilde{G})) = \mathcal{A}(Ad_{\tilde{G}}(\tilde{\Gamma}))$。
• 应用 Borel 稠密性定理，通过极大紧致环面关联 $G$ 和 $\Gamma$ 的伴随像的代数闭包。
• 利用当 Mostow 条件成立时，有 $H^{*}_{dR}(G/\tilde{\Gamma}) \cong H^{*}(\tilde{\mathfrak{g}})$ 的事实。
• 通过有限群 $\Gamma/\tilde{\Gamma}$ 在 $H^{*}_{dR}(G/\tilde{\Gamma})$ 上的作用，推导出 $H^{*}_{dR}(G/\Gamma)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 和 $\Gamma$ 不满足 Mostow 条件时，能否计算紧致可解流形 $G/\Gamma$ 的 de Rham 上同调？
• RQ2 是否存在 $G/\Gamma$ 的一个有限覆盖 $\tilde{G}/\tilde{\Gamma}$，使得 $\tilde{G}$ 和 $\tilde{\Gamma}$ 满足 Mostow 条件？
• RQ3 Witte 的超刚性定理能否用于为 Guan 关于可解流形上同调的结果提供新证明？
• RQ4 伴随作用的特征值满足何种条件时，有 $\mathcal{A}(Ad_G(G)) \neq \mathcal{A}(Ad_G(\Gamma))$？
• RQ5 当 Mostow 条件不成立时，可解流形的上同调与其有限覆盖的上同调之间有何关系？

主要发现

• 对于任意紧致可解流形 $G/\Gamma$，存在一个有限指数子群 $\tilde{\Gamma} \subset \Gamma$ 和一个单连通可解李群 $\tilde{G}$，使得 $\mathcal{A}(Ad_{\tilde{G}}(\tilde{G})) = \mathcal{A}(Ad_{\tilde{G}}(\tilde{\Gamma}))$。
• de Rham 上同调 $H^{*}_{dR}(G/\Gamma)$ 同构于有限群 $\Gamma/\tilde{\Gamma}$ 在 $H^{*}_{dR}(G/\tilde{\Gamma})$ 上作用下的不变子空间。
• 上同调 $H^{*}_{dR}(G/\tilde{\Gamma})$ 同构于李代数上同调 $H^{*}(\tilde{\mathfrak{g}})$，从而实现显式计算。
• 当 $i\pi$ 不是导子 $Z$ 的特征值 $\lambda_k$ 的有理线性组合时，Mostow 条件成立，且有 $H^{*}_{dR}(G/\Gamma) \cong H^{*}(\mathfrak{g})$。
• 在 $\eta = \pi$ 的双椭圆曲面例子中，$H^{1}_{dR}(G/\Gamma) \cong \text{span}\langle e^3, e^4 \rangle$，尽管 Mostow 条件不成立，但其结果仍与 $H^{1}(\mathfrak{g})$ 一致。
• 该方法适用于几乎阿贝尔李群，扩展了关于第一贝蒂数和上同调计算的已知结果。