[论文解读] On the deep-water and shallow-water limits of the intermediate long wave equation from a statistical viewpoint

Guopeng Li, Tadahiro Oh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 4

一句话总结

该论文在深水（δ→∞）和浅水（δ→0）极限下，建立了中间长波（ILW）方程的吉布斯测度及其不变动力学的收敛性。通过怀克重正则化和紧致性论证，证明了在深水极限下，ILW 吉布斯测度以总变差范数收敛于本杰明-奥恩（BO）测度；在浅水极限下，经缩放后弱收敛于科特韦格-德弗里斯（KdV）测度，尽管在浅水区域这些测度相互奇异。该结果在非聚焦情形下可推广至广义 ILW 方程。

ABSTRACT

(Due to the limit on the number of characters for an abstract set by arXiv, the full abstract can not be displayed here. See the abstract in the paper.) We study convergence problems for the intermediate long wave equation (ILW), with the depth parameter $δ> 0$, in the deep-water limit ($δ o \infty$) and the shallow-water limit ($δ o 0$) from a statistical point of view. In particular, we establish convergence of invariant Gibbs dynamics for ILW in both the deep-water and shallow-water limits. For this purpose, we first construct the Gibbs measures for ILW, $0 < δ< \infty$. As they are supported on distributions, a renormalization is required. With the Wick renormalization, we carry out the construction of the Gibbs measures for ILW. We then prove that the Gibbs measures for ILW converge in total variation to that for the Benjamin-Ono equation (BO) in the deep-water limit. In the shallow-water regime, after applying a scaling transformation, we prove that, as $δ o 0$, the Gibbs measures for the scaled ILW converge weakly to that for the Korteweg-de Vries equation (KdV). We point out that this second result is of particular interest since the Gibbs measures for the scaled ILW and KdV are mutually singular (whereas the Gibbs measures for ILW and BO are equivalent). We also discuss convergence of the associated dynamical problem. Lastly, we point out that our results also apply to the generalized ILW equation in the defocusing case, converging to the generalized BO in the deep-water limit and to the generalized KdV in the shallow-water limit. In the non-defocusing case, however, our results can not be extended to a nonlinearity with a higher power due to the non-normalizability of the corresponding Gibbs measures.

研究动机与目标

• 从吉布斯测度的视角，研究中间长波（ILW）方程在深水（δ→∞）和浅水（δ→0）极限下的统计收敛性。
• 通过怀克重正则化，在 δ∈(0,∞) 下构造 ILW 的吉布斯测度，因其定义在分布空间上而需确保其良定性。
• 证明这些吉布斯测度在深水极限下收敛于本杰明-奥恩（BO）方程的测度，以及在浅水极限下经缩放后弱收敛于科特韦格-德弗里斯（KdV）测度。
• 通过紧致性论证建立 ILW 的不变吉布斯动力学，并证明其在相应极限下收敛于 BO 和缩放后的 KdV 动力学。
• 将结果推广至非聚焦情形下的广义 ILW 方程，同时指出在非非聚焦情形下，由于测度不可归一化，方法存在局限性。

提出的方法

• 通过怀克重正则化在 H^{-ε}(𝕋) 上构造 ILW 的吉布斯测度，确保其在分布空间上的良定性。
• 利用色散算子 Gδ 的谱分析，证明深水极限下 ILW 与 BO 方程的基高斯测度等价。
• 对浅水区域应用缩放变换，使测度与 KdV 方程匹配，从而实现吉布斯测度的弱收敛。
• 对截断吉布斯测度使用紧致性论证，构造无需唯一性假设的全局时间不变 ILW 动力学。
• 通过提取子列 δm→∞ 和 δm→0，建立不变动力学的收敛性，分别证明其收敛于 BO 和缩放后的 KdV 动力学。
• 利用变分分析与随机分析工具，包括概率测度的总变差收敛与弱收敛，处理奇异性与极限问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 δ→∞ 时，中间长波（ILW）方程的吉布斯测度是否收敛于本杰明-奥恩（BO）方程的测度？
• RQ2 当 δ→0 时，缩放后的 ILW 方程的吉布斯测度是否弱收敛于科特韦格-德弗里斯（KdV）方程的测度？
• RQ3 ILW 与 BO 测度是否等价？这与浅水区域中 ILW 与 KdV 测度之间的关系有何不同？
• RQ4 能否构造 ILW 的不变吉布斯动力学？其在深水与浅水极限下是否分别收敛于 BO 与 KdV 的动力学？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至广义 ILW 方程，特别是非非聚焦情形下？

主要发现

• 尽管测度定义在分布空间上，当 δ→∞ 时，ILW 的吉布斯测度通过怀克重正则化，以总变差范数收敛于本杰明-奥恩（BO）方程的测度。
• 经适当缩放后，ILW 浅水区域的吉布斯测度在 δ→0 时弱收敛于科特韦格-德弗里斯（KdV）方程的测度，即使这些测度在浅水区域相互奇异。
• 通过紧致性论证构造了 ILW 的不变吉布斯动力学，子列 δm→∞ 和 δm→0 分别收敛于 BO 与缩放后的 KdV 动力学。
• 在非聚焦情形下，结果可推广至广义 ILW 方程，分别收敛于广义 BO 与广义 KdV 测度。
• 在非非聚焦情形下，由于对应吉布斯测度不可归一化，该方法对高阶非线性项失效。
• 通过可数稠密子集，分析被扩展至空间 H^{0-}(𝕋)，确保了可分性，并支持在分布拓扑下的收敛性。