[论文解读] On the defining relations of the affine Lie superalgebras and their quantized universal enveloping superalgebras

Hiroyuki Yamane|ArXiv.org|Mar 15, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 23

一句话总结

本文为仿射李超代数及其量化普遍包络超代数（Uh(G)）建立了定义关系，将Serre关系推广至超代数情形。通过Weyl群型同构与一个普遍李超代数 ¯G，推导出 Uh(ˆsl(m|n)(1)) 的显式关系，包括Drinfeld实现以及在 m=n 时的新Serre型关系。主要贡献在于通过 braid 群作用与经典关系的量子版本，为 Uh(ˆsl(m|m)(1)) 提供了一套完整的生成元与关系。

ABSTRACT

In this paper, we give defining relations of the affine Lie superalgebras an and defining relations of a super-version of the Drinfeld[D]-Jimbo[J] affine quantized universal enveloping algebras. As a result, we can exactly define the affine quantized universal enveloping superalgebras with generators and relations. Moreover we give a Drinfeld's realizations of $U_h({\hat {sl}}(m|n)^{(1)})$.

研究动机与目标

• 将 Kac-Moody 代数的 Serre 关系推广至仿射李超代数，特别是 ˆsl(m|n)(1)。
• 构造一个普遍李超代数 ¯G，通过 Weyl 群型同构 {Li} 捕获仿射李超代数的定义关系。
• 推导量化普遍包络超代数 Uh(G) 的定义关系，使得 U0(G) = Uh(G)/hUh(G) 恢复 ¯G 的经典关系。
• 通过识别经典关系的量子版本（包括 m=n 时的新Serre型关系），提供 Uh(ˆsl(m|m)(1)) 的 Drinfeld 型实现。
• 在 h→0 时，建立 Uh(ˆsl(m|n)(1)) 上的 braid 群作用，使其提升经典 {Li} 作用于 ˆsl(m|n)(1)。

提出的方法

• 通过一个提升 Weyl 群型同构 {Li} 至 {¯Li} 的普遍性质，引入普遍李超代数 ¯G，从而可直接计算定义关系。
• 在 Uh(G) 上使用 Drinfeld-Jimbo 量子双代数构造，结合非退化对称双线性型，以保证拓扑自由性并确保普遍 R-矩阵的存在。
• 应用 Milnor-Moore 定理，证明 U0(G) 的本原元素构成一个李超代数 G0，其为 ¯G 的商。
• 在 Uh(ˆsl(m|n)(1)) 上引入 braid 群作用，使其在经典极限 h→0 时还原为 ˆsl(m|n)(1) 上的经典 {Li} 作用。
• 通过 h(s)ik 与 ˆ¯ψ(s)ir 的生成函数，推导出量子版 Serre 关系，得到涉及 Tωi(Ei)、Tωi(Fi) 与 Kδ 的显式交换关系。
• 通过结合量子关系与经典满同态 j: ¯G → G 的核关系，建立 Uh(ˆsl(m|m)(1)) 的 Drinfeld 实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 m=n 时，仿射李超代数 ˆsl(m|m)(1) 的定义关系是什么，已知 ¯G ≠ G？
• RQ2 如何将 Drinfeld-Jimbo 量子群 Uh(G) 实现为具有显式生成元与关系的量化普遍包络超代数？
• RQ3 在 Uh(ˆsl(m|m)(1)) 中，m=n 时出现的哪些经典 Serre 关系的量子版本？
• RQ4 Uh(ˆsl(m|n)(1)) 上的 braid 群作用如何与经典仿射李超代数上的 Weyl 群型同构 {Li} 相关联？
• RQ5 在 Uh(ˆsl(m|m)(1)) 中，哪些新关系在经典极限 h→0 时消失，对应于满同态 j: ¯G → G 的核？

主要发现

• 对于 ˆsl(m|m)(1)，经典李超代数 ˆsl(m|m)(1) 是 ¯G 的商，其中 ker j = I ⊗C[t,t−1]，I 为单位矩阵。
• Uh(ˆsl(m|m)(1)) 的定义关系通过在定理 6.6.1 的关系上添加关系式 (8.3.5) 的量子版本获得。
• 当 (αi, αi) = 0 时，推导出量子版经典交换关系：[hik, Tωj(Fj)] = −1/kQij,k Kk/2δ Tωj+m+k(Fj)，以及 Ei 的类似关系。
• 当 m=n 时，本文在 Uh(ˆsl(m|m)(1)) 中识别出在经典极限下消失的新 Serre 型关系，具体为：当 (αi, αk) = (αj, αj) = 0 且 (αi, αj) = −(αj, αk) ≠ 0 时，有 [[Ei, Ej], [Ej, Ek]] = 0。
• Uh(ˆsl(m|n)(1)) 上的 braid 群作用提升了经典 ˆsl(m|n)(1) 上的 {Li} 作用，且该作用被用于通过 Beck 的论证推导出全部定义关系。
• 生成函数 Pk≥0 ψikzk = Ki exp((q−q−1)∑r≥1 hir zr) 及其对 φik 的类似形式，为 Uh(ˆsl(m|n)(1)) 中量子 Serre 关系的紧凑编码提供了方式。