[论文解读] On the definition and the properties of the principal eigenvalue of some nonlocal operators

Henri Berestycki, Jérôme Coville+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 74被引用 124

一句话总结

本文建立了非局部算子 $\mathcal{L}_\Omega + a$ 的广义主特征值的多种定义之间的等价性，其中 $\mathcal{L}_\Omega[\varphi] = \int_\Omega K(x,y)\varphi(y)\,dy$。证明了当缩放参数 $\sigma \to 0$ 时，缩放后的非局部算子的主特征值收敛于包含拉普拉斯算子的局部椭圆算子的主特征值，其扩散系数由核 $J$ 的二阶矩决定。这为非局部与经典扩散模型之间建立了严格的联系。

ABSTRACT

In this article we study some spectral properties of the linear operator $\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a$ defined on the space $C(\\bar\\Omega)$ by :$$ \\mathcal{L}\\_{\\Omega}[\\varphi] +a\\varphi:=\\int\\_{\\Omega}K(x,y)\\varphi(y)\\,dy+a(x)\\varphi(x)$$ where $\\Omega\\subset \\mathbb{R}^N$ is a domain, possibly unbounded, $a$ is a continuous bounded function and $K$ is a continuous, non negative kernel satisfying an integrability condition. We focus our analysis on the properties of the generalised principal eigenvalue $\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a)$ defined by $$\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a):= \\sup\\{\\lambda \\in \\mathbb{R} \\,|\\, \\exists \\varphi \\in C(\\bar \\Omega), \\varphi\ extgreater{}0, \ extit{such that}\\, \\mathcal{L}\\_{\\Omega}[\\varphi] +a\\varphi +\\lambda\\varphi \\le 0 \\, \ ext{in}\\;\\Omega\\}. $$ We establish some new properties of this generalised principal eigenvalue $\\lambda\\_p$. Namely, we prove the equivalence of different definitions of the principal eigenvalue. We also study the behaviour of $\\lambda\\_p(\\mathcal{L}\\_{\\Omega}+a)$ with respect to some scaling of $K$. For kernels $K$ of the type, $K(x,y)=J(x-y)$ with $J$ a compactly supported probability density, we also establish some asymptotic properties of $\\lambda\\_{p} \\left(\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega} -\\frac{1}{\\sigma^m}+a\ ight)$ where $\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega}$ is defined by $\\displaystyle{\\mathcal{L}\\_{\\sigma,m,\\Omega}[\\varphi]:=\\frac{1}{\\sigma^{2+N}}\\int\\_{\\Omega}J\\left(\\frac{x-y}{\\sigma}\ ight)\\varphi(y)\\, dy}$. In particular, we prove that $$\\lim\\_{\\sigma\ o 0}\\lambda\\_p\\left(\\mathcal{L}\\_{\\sigma,2,\\Omega}-\\frac{1}{\\sigma^{2}}+a\ ight)=\\lambda\\_1\\left(\\frac{D\\_2(J)}{2N}\\Delta +a\ ight),$$where $D\\_2(J):=\\int\\_{\\mathbb{R}^N}J(z)|z|^2\\,dz$ and $\\lambda\\_1$ denotes the Dirichlet principal eigenvalue of the elliptic operator. In addition, we obtain some convergence results for the corresponding eigenfunction $\\varphi\\_{p,\\sigma}$.

研究动机与目标

• 为可能无界的区域上的非局部算子定义并分析广义主特征值 $\lambda_p(\mathcal{L}_\Omega + a)$。
• 通过证明多种表述之间的等价性，解决主特征值定义中的歧义。
• 研究核 $K(x,y) = \sigma^{-N} J((x-y)/\sigma)$ 缩放下 $\lambda_p$ 的渐近行为，特别是当 $\sigma \to 0$ 时。
• 建立缩放非局部算子对应的特征函数 $\varphi_{p,\sigma}$ 收敛于极限局部算子的首特征函数。

提出的方法

• 通过变分表征法使用上确界-下确界公式定义 $\lambda_p$：$\lambda_p = \sup_{\varphi > 0} \inf_x \left( -\frac{\mathcal{L}_\Omega[\varphi](x) + a(x)\varphi(x)}{\varphi(x)} \right)$。
• 应用柯拉兹-维兰德类型表征，将 $\lambda_p$ 定义为满足存在正下解 $\mathcal{L}_\Omega[\varphi] + a\varphi + \lambda\varphi \leq 0$ 的 $\lambda$ 的上确界。
• 通过考虑 $\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega}[\varphi] = \frac{1}{\sigma^{2+N}} \int_\Omega J\left(\frac{x-y}{\sigma}\right) \varphi(y)\,dy$ 分析缩放极限，其中 $J$ 是紧支集的概率密度。
• 利用能量估计和 $L^2_{\text{loc}}$ 中的弱收敛性，证明缩放后的特征函数 $\varphi_{p,\sigma}$ 在 $\sigma \to 0$ 时收敛于局部算子 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$ 的首特征函数，其中 $D_2(J) = \int_{\mathbb{R}^N} J(z)|z|^2\,dz$。
• 使用涉及 $\iint \rho(z)[u(x+z)-u(x)][\varphi(x+z)-\varphi(x)]\,dzdx$ 的对称双线性形式恒等式，将非局部Dirichlet型式与拉普拉斯算子在极限下的关系联系起来。
• 依赖紧致性论证和Sobolev空间嵌入，从 $L^2_{\text{loc}}(\Omega)$ 中的特征函数序列中提取收敛子序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界区域上，非局部算子的广义主特征值 $\lambda_p$ 的多种定义是否等价？
• RQ2 当 $\sigma \to 0$ 时，主特征值 $\lambda_p(\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega} - \sigma^{-2} + a)$ 的行为如何？
• RQ3 对应特征函数 $\varphi_{p,\sigma}$ 是否收敛于极限局部椭圆算子的首特征函数？
• RQ4 当 $\sigma \to 0$ 时，$\lambda_p(\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega} - \sigma^{-2} + a)$ 的精确渐近极限是什么？
• RQ5 非局部算子在相互作用范围趋于零的极限下能否被局部扩散算子逼近？

主要发现

• 广义主特征值 $\lambda_p(\mathcal{L}_\Omega + a)$ 与多种表述等价，包括上确界-下确界公式和柯拉兹-维兰德类型表征。
• 当 $\sigma \to 0$ 时，缩放后的主特征值满足 $\lim_{\sigma \to 0} \lambda_p\left(\mathcal{L}_{\sigma,2,\Omega} - \frac{1}{\sigma^2} + a\right) = \lambda_1\left(\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a\right)$，其中 $D_2(J) = \int_{\mathbb{R}^N} J(z)|z|^2\,dz$。
• 与缩放非局部算子相关的特征函数 $\varphi_{p,\sigma}$ 在 $\sigma \to 0$ 时于 $L^2_{\text{loc}}(\Omega)$ 中收敛于局部算子 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$ 的首特征函数 $\varphi_1$。
• 当 $m=2$ 时，$\lambda_p\left(\mathcal{L}_{\sigma,m,\Omega} - \sigma^{-m} + a\right)$ 的渐近极限是局部椭圆算子 $\frac{D_2(J)}{2N} \Delta + a$ 的主特征值，其中二阶矩 $D_2(J)$ 决定了扩散系数。
• 当 $0 < m < 2$ 时，极限为 $-\infty$；当 $m=0$ 时，极限为 $\sup_{x \in \Omega} a(x)$，表明行为随缩放速率不同而发生相变。
• 通过能量界和 $L^2_{\text{loc}}$ 中的弱收敛性建立了特征函数的收敛性，极限函数满足局部特征值问题的弱形式。