[论文解读] On the definition of spacetimes in Noncommutative Geometry, part II

Fabien Besnard|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 6

一句话总结

本文引入了谱时空作为偶数维、具有时间与空间定向的洛伦兹或反洛伦兹时空的非交换推广。该结构在不固定 $C^*$-代数或首选时间定向形式的前提下定义，从而允许多个通过观察者变换相互关联的同构 $C^*$-结构。其主要贡献在于构造了不可重构的谱时空——例如有限图上的分裂狄拉克结构——这些结构并非谱三元组的威克旋转，因而提供了真正意义上的洛伦兹非交换几何。

ABSTRACT

In this second part of the paper, we define spectral spacetimes, a noncommutative generalization of Lorentzian orientable spacetimes of even dimension with a spin structure. There are two main differences with spectral triples: the existence of time-orientation 1-forms and the non-existence of a distinguished C*-structure on the algebra. If a "reconstructibility condition" is met, different, yet isomorphic, C*-structures exist. We define a natural notion of stable causality for spectral spacetimes. We give an example of a commutative spectral spacetime which is a Wick rotated version of the spectral triple that must be used in order to recover the usual notion of distance on a finite graph through Connes' distance formula. We show that this spectral spacetime is stably causal iff the time-orientation form induces no cycle. We also provide a noncommutative example, the split Dirac structure, which we study in some details. This structure is defined thanks to a discrete spinor bundle on a finite graph, a discrete connection, and operators at the vertices playing the role of gamma matrices. We give necessary and sufficient conditions for the split Dirac structure to be a spectral spacetime. These includes the natural analogues of the properties defining a spin connection in the continuous case. However the split Dirac structure is not always reconstructible: we prove that this is the case exactly when there exists a parallel timelike vector field on the graph. Nonreconstructible split Dirac structures furnish examples of spectral spacetimes which are not Wick rotations of usual spectral triples, and are thus genuinely Lorentzian. Moreover we show that the Dirac operator of the split Dirac structure is related to a Lorentzian version of a discretization of the Dirac operator introduced earlier by Marcolli and van Suijlekom.

研究动机与目标

• 定义偶数维时间与空间定向的洛伦兹/反洛伦兹旋转向量丛的非交换推广。
• 解决非交换时空模型中缺乏规范 $C^*$-结构的问题，允许多个通过观察者变换关联的同构 $C^*$-结构。
• 为谱时空引入稳定因果性的概念，并将其与非交换因果性领域的前期工作相联系。
• 构造有限维例子，包括通过离散旋量丛与联络实现的谱三元组的非交换推广。
• 确定谱时空可重构的条件，并证明不可重构情形对应于无法通过威克旋转获得的真正洛伦兹几何。

提出的方法

• 使用结合代数、带有克雷因结构的希尔伯特空间，以及满足特定代数与谱条件的自伴算子（狄拉克算子）来定义谱时空。
• 引入非交换时间定向1-形式，其与电荷共轭算子反对易，且不要求归一化或与代数交换。
• 实施一个可重构性条件，使得代数上存在多个同构的 $C^*$-结构，且这些结构通过观察者诱导的同构相互关联。
• 通过离散旋量丛、离散联络以及作用于顶点的伽马矩阵算子，在有限图上构造分裂狄拉克结构。
• 对正权有向图上的规范反洛伦兹谱时空实施威克旋转，将其与康奈斯在有限图上的距离公式相联系。
• 将稳定因果性的概念推广至谱时空，并证明其成立当且仅当时间定向1-形式在图中不诱导出环路。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不固定 $C^*$-代数的前提下，定义具有旋量结构与时间-空间定向的洛伦兹时空的非交换类比？
• RQ2 谱时空在何种条件下允许多个同构的 $C^*$-结构，且这些结构如何与观察者变换相关联？
• RQ3 不可重构的谱时空是否存在，它们对洛伦兹型签名的非交换几何意味着什么？
• RQ4 谱时空中的稳定因果性与时间定向1-形式在图中不产生环路之间有何关系？
• RQ5 分裂狄拉克结构在多大程度上推广了洛伦兹背景下狄拉克算子的离散化？

主要发现

• 正权有向图上的规范反洛伦兹谱时空是稳定因果的，当且仅当图的定向是无环的。
• 分裂狄拉克结构是谱时空，当且仅当它满足连续情形下定义旋量联络的自然类比性质。
• 分裂狄拉克结构是可重构的，当且仅当图上存在一个平行（协变常数）类时向量场。
• 不可重构的分裂狄拉克结构并非任何谱三元组的威克旋转，因此代表了真正意义上的洛伦兹非交换几何。
• 分裂狄拉克结构的狄拉克算子与马科利与范苏伊勒科姆引入的洛伦兹离散化狄拉克算子相关。
• 在 $\mathbb{C}^2$ 上定义的谱时空是零维谱三元组的威克旋转，而六维谱三元组无法进行威克旋转，凸显了其与标准谱三元组的关键差异。