[论文解读] On the Deformation Quantization of super-Poisson Brackets

Martin Bordemann|ArXiv.org|May 24, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 11

一句话总结

本文通过一种类似Fedosov的程序，为辛流形M上向量丛E的对偶Grassmann丛的截面空间上的超泊松括号构造了形变量子化。该构造依赖于M的辛结构、向量丛E上的纤维度量以及相容联络，从而为超泊松结构提供了自洽的星积量子化方法。

ABSTRACT

We show that for every vector bundle E over any given symplectic manifold M there exists an explicitly given super-Poisson bracket on the space of sections of the dual Grassmann bundle associated to E built out of symplectic structure of M, a fibre metric on E, and a connection in E compatible with the given fibre metric. Moreover, we construct a deformation quantization for this space of sections by means of a Fedosov type procedure.

研究动机与目标

• 将形变量子化推广至辛流形上向量丛相关超流形上的超泊松括号。
• 在对偶Grassmann丛的截面空间上系统地构造一个星积。
• 将几何数据——辛结构、纤维度量和相容联络——统一纳入量子化过程。
• 将Fedosov的形变量子化框架推广至超泊松设定。

提出的方法

• 利用M上的辛形式、E上的纤维度量以及E上的相容联络，在对偶Grassmann丛的截面上定义一个超泊松括号。
• 在与Grassmann丛相关的喷丛上构造一个分次超联络，以模拟量子形变。
• 应用类似Fedosov的迭代程序，构建一个平直超联络，其水平截面给出星积。
• 利用超联络的曲率与挠率定义星积，直至规范等价。
• 确保所得星积满足结合律，并在形式参数ħ的极限下形变超泊松括号。
• 验证该构造在选择上至多相差超规范等价，从而保证一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为源自辛流形上向量丛的超泊松括号系统地构造形变量子化？
• RQ2 如何在量子化过程中统一几何数据——辛结构、纤维度量和相容联络？
• RQ3 类似Fedosov的方法是否能自然地推广至Grassmann丛上的超泊松结构？
• RQ4 所得星积是否满足结合律，并在经典极限下等价于原始超泊松括号？
• RQ5 超联络及其曲率在定义量子乘积中起什么作用？

主要发现

• 通过M的辛结构、E上的纤维度量以及相容联络，在对偶Grassmann丛的截面空间上显式构造了超泊松括号。
• 通过类似Fedosov的程序实现了形变量子化，得到了对偶Grassmann丛截面空间上的星积。
• 星积满足结合律，并在ħ → 0极限下形变超泊松括号。
• 该构造在联络选择上至多相差超规范等价，确保了鲁棒性。
• 该方法将Fedosov的形变量子化推广至包含显式几何输入的超泊松设定。
• 所得星积可显式地用超联络的曲率与挠率表示。