[论文解读] On the deformations of canonical double covers of minimal rational surfaces

Francisco Javier Gallego, Miguel González+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了通过非常 ample 线性系嵌入的极小有理曲面（例如 $\mathbf{P}^2$、$\mathbf{F}_e$）的典范双覆盖的变形理论。利用无穷小上同调准则，证明了典范态射的任何变形仍保持为 2 度，从而确保此类曲面的模空间分量仅参数化 2 度覆盖，即使不变量位于或高于 Castelnuovo 直线上也成立。该结果消除了模空间行为的歧义，并确立了在这些曲面上不存在典范嵌入的多重结构。

ABSTRACT

The purpose of this article is to study the deformations of smooth surfaces $X$ of general type whose canonical map is a finite, degree 2 morphism onto a minimal rational surface or onto $\mathbf F_1$, embedded in projective space by a very ample complete linear series. Among other things, we prove that any deformation of the canonical morphism of such surfaces $X$ is again a morphism of degree 2. A priori, this is not at all obvious, for the invariants $(p_g(X),c_1^2(X))$ of most of these surfaces lie on or above the Castelnuovo line; thus, in principle, a deformation of such $X$ could have a birational canonical map. We also map the region of the geography of surfaces of general type corresponding to the invariants of the surfaces $X$ and we compute the dimension of the irreducible moduli component containing $[X]$. In certain cases we exhibit some interesting moduli components parametrizing surfaces $S$ whose canonical map has different behavior but whose invariants are the same as the invariants of $X$. One of the interests of the article is that we prove the results about moduli spaces employing crucially techniques on deformation of morphisms. The key point or our arguments is the use of a criterion that requires only infinitesimal, cohomological information of the canonical morphism of $X$. As a by-product, we also prove the non-existence of "canonically" embedded multiple structures on minimal rational surfaces and on $\mathbf F_1$.

研究动机与目标

• 理解作为极小有理曲面双覆盖的全般曲面的典范态射的变形行为。
• 解决此类曲面是否能形变成具有有理态射的典范映射的歧义，特别是在不变量位于或高于 Castelnuovo 直线时。
• 计算包含此类曲面的不可约模空间分量的维数，并识别具有不同典范映射行为的独立分量。
• 证明在 $\mathbf{P}^2$ 和 Hirzebruch 曲面 $\mathbf{F}_e$ 上不存在典范嵌入的多重结构。
• 绘制这些典范双覆盖所覆盖的不变量地理区域，并与具有有理典范映射的曲面的模空间分量进行比较。

提出的方法

• 基于无穷小上同调数据的准则，特别是 $\operatorname{Hom}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \omega_Y(-1))$ 的消失，以控制典范态射的变形。
• 应用态射的变形理论，证明即使在不变量高于 Castelnuovo 直线时，2 度行为在变形下仍被保持。
• 在 $\mathbf{P}^2$ 和 $\mathbf{F}_e$ 上利用无基点的分支除子构造典范双覆盖，以生成显式例子。
• 通过公式 $\dim \mathcal{M} = \chi(N_X) = \chi(\omega_X^{-1}) + \chi(\omega_X)$ 计算模空间维数，使用邻接公式和上同调工具。
• 依赖 [GGP10] 和 [AK90] 的结果，与已知具有有理典范映射的曲面进行比较，并识别不同的模空间分量。
• 使用方程 $y = 6\frac{m-3}{m-2}x' - (m-3)(m+3)$ 确定不同曲面族之间的共同不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Castelnuovo 直线或其上方的有理曲面的典范双覆盖是否能形变成具有有理典范映射的曲面？
• RQ2 即使不变量暗示相反情况，典范态射的 2 度性质是否在变形下仍被保持？
• RQ3 在 $\mathbf{P}^2$ 或 $\mathbf{F}_e$ 上是否存在典范嵌入的多重结构？
• RQ4 对于相同不变量，具有 2 度典范映射的曲面的模空间分量与具有有理典范映射的曲面的模空间分量如何比较？
• RQ5 包含有理曲面典范双覆盖的不可约模空间分量的维数是多少？

主要发现

• 任何具有无基点分支除子的 $\mathbf{P}^2$ 或 $\mathbf{F}_e$ 的典范双覆盖曲面 $X$ 的典范态射的变形，仍为 2 度的有限态射。
• 包含 $[X]$ 的模空间分量即使在不变量位于或高于 Castelnuovo 直线时，也仅参数化具有 2 度典范态射的曲面。
• 对于不变量 $(p_g, c_1^2) = (39, 110)$，模空间 $\mathcal{M}_{(39,0,110)}$ 至少有两个不同的分量：一个具有有理典范映射，另一个具有 2 度态射。
• 对于不变量 $(p_g, c_1^2) = (45, 128)$，模空间 $\mathcal{M}_{(45,0,110)}$ 至少有三个分量，其中包括两个来自 $\mathbf{P}^2$ 和 $\mathbf{F}_0$ 覆盖的 2 度典范态射分量。
• 通过 $|4C_0 + 8f|$ 覆盖 $\mathbf{F}_0$ 的双覆盖的模空间分量维数为 266，而通过八次曲线在 $\mathbf{P}^2$ 上的维数为 267，表明存在不同的分量。
• 通过 $\operatorname{Hom}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \omega_Y(-1))$ 的消失，证明在 $\mathbf{P}^2$ 或 $\mathbf{F}_e$ 上不存在典范嵌入的多重结构。