[论文解读] On the degree distribution of a growing network model

Linda Farczadi, Nicholas Wormald|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文分析了一类增长随机网络模型中的度分布，其中每个新顶点通过优先连接（preferential attachment）选择一个随机存在的顶点，并进一步连接到该顶点的 k−1 个邻居。研究证明，第 i 个时间点加入的顶点的期望度数随时间增长为 k√(n/i)，并证明该度序列服从指数为 3 的幂律分布，与 Barabási-Albert 和 Bollobás-Riordan 模型的结果一致。

ABSTRACT

In this note we make some specific observations on the distribution of the degree of a given vertex in certain model of randomly growing networks. The rule for network growth is the following. Starting with an initial graph of minimum degree at least $k$, new vertices are added one by one. Each new vertex $v$ first chooses a random vertex $w$ to join to, where the probability of choosing $w$ is proportional to its degree. Then $k$ edges are added from $v$ to randomly chosen neighbours of $w$.

研究动机与目标

• 分析新顶点通过优先连接并连接到初始选定顶点的 k−1 个邻居的生长网络模型中的度分布。
• 在该模型中建立给定顶点随时间演化的期望度数增长规律。
• 证明该模型属于优先连接模型的 PA-class，从而可直接应用现有的渐近结果。
• 推导顶点度数的度分布和矩的精确表达式与渐近表达式。
• 证明该模型的度序列服从指数为 3 的幂律分布，与无标度网络行为一致。

提出的方法

• 采用递归期望方法推导在时间 i 加入的顶点的期望度数，证明 E[d_n(v_i)] = k√(n/i)(1 + O(1/i))。
• 应用 Bollobás-Riordan LCD 模型和 Ostroumova 等人提出的 PA-class 框架结果，建立分布等价性。
• 使用生成函数和 Pólya 瓶模型推导度数 P(d_n(v_i) = j) 的精确表达式。
• 利用伽马函数和生成函数的系数提取法，推导顶点度数的一阶和二阶矩的精确公式。
• 通过伽马函数的渐近分析，推导期望度数和方差的主导项行为。
• 应用 PA-class 条件，参数 A = 1/2 和 B = 0，确认该模型与已知优先连接网络结果的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在该增长网络模型中，时间 i 加入的顶点的期望度数如何随时间演化？
• RQ2 该模型中给定顶点的度数的精确分布是什么？与已知的优先连接模型相比有何异同？
• RQ3 该模型的度序列是否服从幂律分布？若是，其指数是多少？
• RQ4 能否使用瓮模型和生成函数精确推导顶点度数的矩？
• RQ5 在度分布方面，该模型的行为与 Barabási-Albert 和 Bollobás-Riordan 模型相比如何？

主要发现

• 在时间 i 加入的顶点的期望度数渐近增长为 k√(n/i)，相对误差项为 O(1/i)。
• 该模型的度分布服从指数为 3 的幂律，由渐近结果 N_n(d) ≈ α(k,d) 确认，其中 α(k,d) = 2k(k+1)/(d(d+1)(d+2))。
• 该模型属于参数 A = 1/2 和 B = 0 的 PA-class，因此可直接应用 Ostroumova 等人关于度分布和矩的成果。
• 度数 d_n(v_i) 的一阶矩精确为 E[d_n(v_i)] = kΓ(i)Γ(n+1/2)/(Γ(i+1/2)Γ(n))，与递归推导结果一致。
• 二阶矩为 E[d_n(v_i)^2] = k(k+1)n/i + 2E[d_n(v_i)]，显示出对期望度数的二次依赖关系。
• 利用 Pólya 瓮模型推导出顶点度数的精确有限样本概率，其闭式表达式包含二项式系数和 Pochhammer 符号。