[论文解读] On the Degree of Boolean Functions as Polynomials over ℤ_m

Montanaro, Ashley, Tobias J. Osborne|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用 48

一句话总结

本文研究了XOR函数g(x, y) = f(x ⊕ y)的量子与经典通信复杂度，表明对于单调函数，量子与经典复杂度之间存在二次关系；对于线性阈值函数，量子复杂度为Θ(n)。本文提出了利用共享随机性和傅里叶分析技术的高效经典协议，并推测在傅里叶谱具有结构性条件的前提下，所有XOR函数的量子与经典精确通信复杂度渐近等价。

ABSTRACT

An XOR function is a function of the form g(x,y) = f(x + y), for some boolean function f on n bits. We study the quantum and classical communication complexity of XOR functions. In the case of exact protocols, we completely characterise one-way communication complexity for all f. We also show that, when f is monotone, g's quantum and classical complexities are quadratically related, and that when f is a linear threshold function, g's quantum complexity is Theta(n). More generally, we make a structural conjecture about the Fourier spectra of boolean functions which, if true, would imply that the quantum and classical exact communication complexities of all XOR functions are asymptotically equivalent. We give two randomised classical protocols for general XOR functions which are efficient for certain functions, and a third protocol for linear threshold functions with high margin. These protocols operate in the symmetric message passing model with shared randomness.

研究动机与目标

• 以f的傅里叶维数来表征XOR函数的一向量子与经典通信复杂度。
• 研究基于单调函数和线性阈值函数的XOR函数的量子与经典通信复杂度之间的关系。
• 利用共享随机性和傅里叶分析，为一般XOR函数设计高效的经典随机化协议。
• 提出一个关于布尔函数傅里叶谱的结构性猜想，该猜想若成立，则可推出所有XOR函数的量子与经典精确通信复杂度渐近等价。

提出的方法

• 使用ℤ_m上的傅里叶分析研究布尔函数的次数，并将其与通信复杂度联系起来。
• 应用奇偶性决策树模型，将确定性双向通信复杂度与傅里叶谱结构联系起来。
• 设计一种经典随机化协议，通过抽样随机线性函数来估计加权汉明权重，利用共享随机性。
• 使用切尔诺夫不等式分析估计加权差值和是否超过阈值时的错误概率。
• 推导出针对线性阈值函数的协议，通信复杂度为O((θ/m)²)，其中θ为阈值，m为裕度。
• 引入特定的概率选择pi = ½(1 − (1 − 2α)wi)，其中α ≈ 1/(2θ)，以最大化内积分布对阈值的敏感度。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有XOR函数的量子与经典精确通信复杂度是否渐近等价？
• RQ2 当f为单调函数或线性阈值函数时，XOR函数的通信复杂度是多少？
• RQ3 能否利用共享随机性和采样技术，为一般XOR函数构造高效的经典协议？
• RQ4 f的傅里叶谱结构如何影响g(x, y) = f(x ⊕ y)的通信复杂度？
• RQ5 能否将随机化协议的通信代价改进为O((θ/m) log(θ/m))？

主要发现

• 对于单调XOR函数，量子与经典通信复杂度之间存在二次关系。
• 对于线性阈值函数，精确量子通信复杂度为Θ(n)。
• 针对具有裕度m的线性阈值函数，构造了一个通信复杂度为O((θ/m)²)的随机化经典协议。
• 该协议通过估计输入差值与随机向量的内积，在常数概率下成功。
• 协议的成功依赖于选择与权重成比例的采样概率，以增强阈值上方与下方输入之间期望内积的差异。
• 本文推测，若f的傅里叶谱具有有界宽度，则g(x, y) = f(x ⊕ y)的量子与经典精确通信复杂度渐近等价。