[论文解读] On the degree of the polynomial defining a planar algebraic curves of constant width

Magali Bardet, Térence Bayen|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过代数几何与消去理论，解决了凸几何中一个长期存在的问题：确定定义非圆平面等宽曲线的多项式最小次数。作者证明，当此类曲线通过次数为 $N$ 的三角多项式参数化时，其定义多项式总次数为 $N+1$（若所有系数均为奇数），否则为 $2N+2$。关键结果证实了Rabinowitz的猜想：不存在次数低于8的多项式可定义此类非圆等宽曲线。

ABSTRACT

In this paper, we consider a family of closed planar algebraic curves $\mathcal{C}$ which are given in parametrization form via a trigonometric polynomial $p$. When $\mathcal{C}$ is the boundary of a compact convex set, the polynomial $p$ represents the support function of this set. Our aim is to examine properties of the degree of the defining polynomial of this family of curves in terms of the degree of $p$. Thanks to the theory of elimination, we compute the total degree and the partial degrees of this polynomial, and we solve in addition a question raised by Rabinowitz in \cite{Rabi} on the lowest degree polynomial whose graph is a non-circular curve of constant width. Computations of partial degrees of the defining polynomial of algebraic surfaces of constant width are also provided in the same way.

研究动机与目标

• 确定定义非圆平面等宽曲线的多项式最小次数。
• 解决Rabinowitz（1994年）提出的关于此类定义多项式最低可能次数的问题。
• 建立定义等宽代数曲线的隐式多项式总次数与偏次数的精确公式。
• 将分析扩展至三维空间中由球谐函数与隐式化技术定义的等宽代数曲面。

提出的方法

• 利用次数为 $N$ 的三角多项式 $p(\theta)$ 参数化平面等宽曲线，表示凸体的支撑函数。
• 应用结式与贝祖矩阵理论进行隐式化，计算曲线的定义多项式 $f(x,y)$。
• 通过Weierstrass代换 $t = \tan(\theta/2)$ 实现三角函数表达式的有理化参数化。
• 分析参数化对曲线的覆盖次数（1次或2次），以确定隐式多项式的次数。
• 运用消去理论与结式计算，推导出定义多项式的精确总次数与偏次数。
• 将该方法推广至由球谐函数定义的三维代数曲面，通过Maple中的符号计算技术计算偏次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 定义非圆平面等宽曲线的实系数多项式最小总次数是多少？
• RQ2 定义多项式的次数如何依赖于三角支撑函数的次数及其系数奇偶性？
• RQ3 能否系统地利用消去理论计算等宽代数曲线的隐式化？
• RQ4 三维空间中等宽代数曲面的定义多项式偏次数为何？
• RQ5 是否可将Rabinowitz关于最小次数的猜想推广至高维等宽曲面？

主要发现

• 若平面代数等宽曲线的三角支撑多项式 $p$ 次数为 $N \geq 2$ 且所有系数均为奇数，则其定义多项式 $f(x,y)$ 的总次数为 $N+1$。
• 若 $p$ 含有任何非零偶数次系数，则 $f$ 的总次数为 $2N+2$。
• 该结果证明：不存在次数低于8的非圆等宽曲线可由多项式定义，从而证实了Rabinowitz的猜想。
• 当 $N=3$ 时，最小次数为8，与Rabinowitz的构造一致，且证明其为最优。
• 该方法可借助Maple中的符号计算，实现对三维等宽代数曲面定义多项式偏次数的计算。
• 此类曲面的直接Gröbner基计算在合理时间内无法完成，但基于结式的计算方法成功实现，使偏次数分析成为可能。