[论文解读] On the degree-wise coherence of FI_G-modules

Eric Ramos|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 14

一句话总结

本文证明了 ${\mathscr{FI}}_G$-模是逐次度有限的当且仅当其挠度有限，从而在不施加对群 $G$ 或系数环 $k$ 的限制下，证明了此类模的范畴是阿贝尔范畴。该结果使得对逐次度有限模的稳健局部上同调理论成为可能，其应用涵盖维数、正则性及对偶定理。

ABSTRACT

In this work we study a kind of coherence condition on FI_G-modules, which generalizes the usual notion of finite generation. We prove that a module is coherent, in the appropriate sense, if and only if its generators, as well as its torsion, appears in only finitely many degrees. Using this technical result, we prove that the category of coherent FI_G-modules is abelian, independent of any assumptions on the group G, or the coefficient ring k. Following this, we consider applications towards the local cohomology theory of FI_G-modules, introduced by Li and the author in previous work.

研究动机与目标

• 建立 ${\mathscr{FI}}_G$-模逐次度有限性的精确刻画，以有限挠度为条件。
• 证明即使在不假设 $G$ 或 $k$ 的条件下，逐次度有限 ${\mathscr{FI}}_G$-模的范畴仍是阿贝尔范畴。
• 为逐次度有限模发展局部上同调理论，并推导其结构后果。
• 证明一个对偶定理，将无限导出的导出函子与局部上同调模联系起来。

提出的方法

• 通过生成元中的有限生成性与有限关系度来定义逐次度有限性。
• 将挠度 $\operatorname{td}(V)$ 定义为包含挠元素的最高次数的上确界。
• 证明逐次度有限性等价于 $\operatorname{td}(V) < \infty$，从而解决李提出的一个猜想。
• 利用局部上同调函子 $H^i_{\mathfrak{m}}(V)$ 的结构来定义维数与正则性。
• 构造一个格罗滕迪克谱序列，将 $D_\infty^b$ 的导出函子与局部上同调联系起来。
• 建立对偶同构 $H^i_{D_\infty^{d+1}}(V) \cong H^{d+1-i}_{\mathfrak{m}}(V)$，适用于维数为 $d$ 的逐次度有限模。

实验结果

研究问题

• RQ1 ${\mathscr{FI}}_G$-模的逐次度有限性是否等价于挠度有限？
• RQ2 在不施加对 $G$ 或 $k$ 的限制下，逐次度有限 ${\mathscr{FI}}_G$-模的范畴是否构成阿贝尔范畴？
• RQ3 能否通过无限导出的挠子模来计算逐次度有限模的局部上同调模？
• RQ4 导出函子 $D_\infty^b$ 与局部上同调函子之间存在何种关系？
• RQ5 逐次度有限模的正则性是否满足 $\operatorname{reg}(V) = \max_i\{\deg(H^i_{\mathfrak{m}}(V)) + i\}$？

主要发现

• 对于任意群 $G$ 与交换环 $k$，逐次度有限 ${\mathscr{FI}}_G$-模的范畴是阿贝尔范畴，且不依赖诺特性假设。
• ${\mathscr{FI}}_G$-模是逐次度有限的当且仅当其挠度有限，从而证实了李的猜想。
• 逐次度有限模的局部上同调模本身也是逐次度有限的。
• 逐次度有限模的维数定义为 $\dim_{{\mathscr{FI}}_G}(V) = \sup\{i \mid H^i_{\mathfrak{m}}(V) \neq 0\}$，若 $V$ 是 $\sharp$-过滤的则为 $\infty$。
• 逐次度有限模的正则性满足 $\operatorname{reg}(V) \leq \max_i\{\deg(H^i_{\mathfrak{m}}(V)) + i\}$，且猜想等式成立。
• 存在对偶同构：对于维数为 $d$ 的逐次度有限模 $V$，有 $H^i_{D_\infty^{d+1}}(V) \cong H^{d+1-i}_{\mathfrak{m}}(V)$。