[论文解读] On the densities of cliques and independent sets in graphs

Hao Huang, Nati Linial+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文通过确定在独立集大小为 $r$ 的密度固定时，图中 $s$-团的最大密度，解决了极值图论中的一个长期悬而未决的问题。作者运用极值集合论中的移位技巧与分析方法，证明极值图要么是团，要么是团的补图，且通过涉及 $p$、$r$ 和 $s$ 的关键方程导出紧致界。该结果将 Kruskal-Katona 定理推广至独立集情形，并为接近极值的图提供了稳定性结果。

ABSTRACT

Let r, s >= 2 be integers. Suppose that the number of blue r-cliques in a red/blue coloring of the edges of the complete graph K_n is known and fixed. What is the largest possible number of red s-cliques under this assumption? The well known Kruskal-Katona theorem answers this question for r=2 or s=2. Using the shifting technique from extremal set theory together with some analytical arguments, we resolve this problem in general and prove that in the extremal coloring either the blue edges or the red edges form a clique.

研究动机与目标

• 确定在给定独立集大小 $r$ 的密度固定时，图中 $s$-团的最大可能密度。
• 将 Kruskal-Katona 定理推广至独立集而非团的情形。
• 刻画实现该最大密度的极值图，表明其要么是团，要么是团的补图。
• 建立稳定性结果，表明接近极值的图在边编辑距离上接近这些极值图。

提出的方法

• 应用极值集合论中的移位技巧，对图进行变换，同时保持或增加 $s$-团的数量。
• 使用分析方法求解涉及 $p$、$r$ 和 $s$ 的关键方程，以确定极值密度 $M_{r,s,p}$。
• 将极值图定义为 $Q_{n,t}$（$t$ 个顶点的团）和 $\overline{Q}_{n,t'}$（$t'$ 个顶点的团的补图）。
• 将极值密度 $M_{r,s,p}$ 表示为两个表达式的最大值：一个基于 $p^{1/r}$，另一个基于方程 $q^r + rq^{r-1}(1-q) = p$ 的根 $q$。
• 证明稳定性定理，表明任何几乎达到极值密度的图，必须在边编辑距离上接近于某个极值图。
• 将移位方法扩展至超图及集合系统标签副本，以支持主要极值论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n$ 个顶点图中独立集大小 $r$ 的密度固定为 $p$ 时，$s$-团的最大可能密度是多少？
• RQ2 在独立集大小 $r$ 的密度固定时，哪些图使 $s$-团的数量最大化？
• RQ3 当独立集大小 $r$ 的密度 $p$ 从 0 到 1 变化时，极值图结构如何变化？
• RQ4 能否建立稳定性结果，表明接近极值的图在家族 $\mathcal{Q}_n$ 中接近极值图？
• RQ5 当最小化 $d(K_s;G)$ 且固定 $d(\overline{K}_r;G)$ 时，极值函数的行为如何，特别是当 $r=s$ 时？

主要发现

• 在固定 $d(\overline{K}_r;G) \geq p$ 的条件下，$s$-团的最大密度 $d(K_s;G)$ 渐近为 $M_{r,s,p} + o(1)$，其中 $M_{r,s,p}$ 是 $p^{1/r}$ 与方程 $q^r + rq^{r-1}(1-q) = p$ 的根 $q$ 所构成的两个表达式的最大值。
• 实现该最大密度的极值图是 $t$ 个顶点的团（记为 $Q_{n,t}$）或 $t'$ 个顶点的团的补图（记为 $\overline{Q}_{n,t'}$），其中 $t$ 和 $t'$ 由 $p$ 决定。
• 当 $r=2$ 或 $s=2$ 时，该结果退化为经典的 Kruskal-Katona 定理，与已知结果一致。
• 稳定性定理表明，任何使 $d(K_s;G)$ 与最大值相差不超过 $\delta$ 的图，必须在 $\epsilon$ 范围内接近 $\mathcal{Q}_n$ 中的某张图，证实了极值构型的结构鲁棒性。
• 极值函数是两条曲线的逐点最大值：一条来自 $Q_{n,\theta n}$，另一条来自 $\overline{Q}_{n,\theta n}$，如图 1 所示（$r=s=3$ 时）。
• 本文解决了 Erdős 提出的 50 年未解难题，即在 $\alpha = 0$（即独立数为 $r-1$）时最小化 $d(K_s;G)$ 的情形，对某些 $r$ 和 $s$ 成立，并为 $\alpha$ 增大时的进一步分析提供了框架。