[论文解读] On the density function of the distribution of real algebraic numbers

Dzianis Kaliada|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文证明了固定次数 $ n \geq 2 $ 的实代数数的分布密度函数的存在性与连续可微性，推导出密度的显式公式，并证明了此类数在区间内计数的渐近公式，且误差估计极为精确。关键结果表明该分布是非均匀的，从而否定了 Bernik 关于均匀性的猜想。

ABSTRACT

In this paper we study the distribution of the real algebraic numbers. Given an interval $I$, a positive integer $n$ and $Q>1$, define the counting function $Φ_n(Q;I)$ to be the number of algebraic numbers in $I$ of degree $n$ and height $\le Q$. Let $I_x = (-\infty,x]$. The distribution function is defined to be the limit (as $Q o\infty$) of $Φ_n(Q;I_x)$ divided by the total number of real algebraic numbers of degree $n$ and height $\le Q$. We prove that the distribution function exists and is continuously differentiable. We also give an explicit formula for its derivative (to be referred to as the distribution density) and establish an asymptotic formula for $Φ_n(Q;I)$ with upper and lower estimates for the error term in the asymptotic. These estimates are shown to be exact for $n \ge 3$. One consequence of the main theorem is the fact that the distribution of real algebraic numbers of degree $n \ge 2$ is non-uniform.

研究动机与目标

• 解决实代数数在次数 $ n \geq 2 $ 下分布的长期悬而未决问题，特别是其是否在实直线上均匀分布。
• 确立按高度和次数排序的实代数数的极限分布函数的存在性与光滑性。
• 推导该分布密度函数的显式公式，并为计数函数 $ \Phi_n(Q;I) $ 提供精确的渐近估计。
• 证明当 $ n \geq 2 $ 时分布是非均匀的，从而否定了 V. I. Bernik 的一个猜想。

提出的方法

• 将计数函数 $ \Phi_n(Q;I) $ 定义为次数为 $ n $、高度 $ \leq Q $ 且位于区间 $ I $ 内的实代数数的个数。
• 将分布函数定义为当 $ Q \to \infty $ 时 $ \Phi_n(Q;I_x)/\#\mathbb{A}_n(Q) $ 的极限，其中 $ I_x = (-\infty, x] $。
• 证明该极限存在且连续可微，其导数即为分布密度 $ \rho_n(x) $。
• 利用 $ \mathbb{R}^{n+1} $ 中的 $ L^2 $-范数与楔体积等几何与解析技巧，推导出密度的显式公式。
• 建立 $ \Phi_n(Q;I) $ 的渐近公式，并给出误差项的上下界，证明当 $ n \geq 3 $ 时这些界是精确的。
• 通过按高度与数值递增顺序排列代数数的方法，将结果重新表述为截断序列中累积计数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定次数 $ n \geq 2 $ 的实代数数在实直线上是否均匀分布？
• RQ2 给定区间 $ I $ 内，次数为 $ n $ 且高度 $ \leq Q $ 的实代数数的个数的精确渐近行为是什么？
• RQ3 能否为该类数的极限分布密度函数推导出闭式表达式？
• RQ4 渐近计数公式的误差项行为如何？对于所有 $ n \geq 3 $，这些误差项是否都是精确的？

主要发现

• 固定次数 $ n \geq 2 $ 的实代数数的极限分布函数存在且连续可微。
• 推导出分布密度的显式公式：$ \phi_n(\|\cdot\|_2;x) = \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)} \sqrt{ \frac{1}{(x^2-1)^2} - \frac{(n+1)^2 x^{2n}}{(x^{2n+2}-1)^2} } $。
• 对 $ \Phi_n(Q;I) $ 的渐近公式中，误差项被控制在 $ O(Q^n (\ln Q)^{\ell(n)}) $ 范围内，且当 $ n \geq 3 $ 时这些界是精确的。
• 当 $ n \geq 2 $ 时，该分布是非均匀的，从而否定了 V. I. Bernik 关于均匀性的猜想。
• 结果被重新表述为按高度排序的序列形式：$ \mathfrak{N}_n(N,I) = N \int_I \rho_n(x)\,dx + O\left(N^{\frac{n}{n+1}} (\ln N)^{\ell(n)}\right) $。
• 密度函数 $ \rho_n(x) $ 与 $ \phi_n(x) $ 成正比，其形式与独立同分布高斯系数的随机多项式实根的极限密度一致。