[论文解读] On the Density of Languages Accepted by Turing Machines and Other Machine Models

Óscar H. Ibarra, Ian McQuillan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

semigroups and automata theory参考文献 16被引用 2

一句话总结

本论文证明了对于具有单向只读输入和反转有界的工作带的非确定性图灵机，密度——即语言的所有子串（infixes）构成字母表上的所有字符串集合——是可判定的，其中读写头改变方向的次数最多为固定次数。关键贡献在于通过存储语言的正则性证明了可判定性，该结果可推广至相关模型，如单向反转有界的队列自动机和栈自动机，同时表明对于具有两个此类带的确定性机器或一元非确定性机器，问题为不可判定。

ABSTRACT

A language is dense if the set of all infixes (or subwords) of the language is the set of all words. Here, it is shown that it is decidable whether the language accepted by a nondeterministic Turing machine with a one-way read-only input and a reversal-bounded read/write worktape (the read/write head changes direction at most some fixed number of times) is dense. From this, it is implied that it is also decidable for one-way reversal-bounded queue automata, one-way reversal-bounded stack automata, and one-way reversal-bounded $k$-flip pushdown automata (machines that can "flip" their pushdowns up to $k$ times). However, it is undecidable for deterministic Turing machines with two 1-reversal-bounded worktapes (even when the two tapes are restricted to operate as 1-reversal-bounded pushdown stacks).

研究动机与目标

• 确定各种机器模型下语言密度的可判定性，特别是具有反转有界存储的模型。
• 研究‘稠密’这一性质——即包含所有可能的子串——是否可被算法判定，适用于具有有界反转行为的自动机。
• 将从下推自动机获得的可判定性结果扩展至更广泛的机器类别，包括具有有界工作带的图灵机。
• 识别可判定与不可判定情况之间的边界，尤其关注反转有界带的数量。

提出的方法

• 利用反转有界非确定性图灵机的存储语言——即接受计算中可达的状态/存储内容对集合——的正则性。
• 利用此类机器的存储语言为正则语言的事实，从而能够有效分析子串集合。
• 将密度问题约化为检查语言的子串闭包是否等于字母表上的自由幺半群。
• 应用封闭性质和约化方法，证明具有两个反转有界带或一元字母表的模型中问题的不可判定性。
• 通过从停机问题的约化来证明不可判定性，特别是利用图灵机的实时模拟。
• 通过模拟和反转有界操作下的封闭性，将结果推广至相关模型，如栈自动机、队列自动机以及k-翻转下推自动机。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有单向只读输入和反转有界工作带的非确定性图灵机所接受的语言，其密度是否可判定？
• RQ2 密度的可判定性是否可扩展至单向反转有界的队列自动机、栈自动机和k-翻转下推自动机？
• RQ3 当反转有界工作带的数量从一个增加到两个时，即使在确定性情形下，可判定性是否仍然成立？
• RQ4 对于具有1-反转有界栈的一元字母表上的单向非确定性双下推自动机所接受的单一同元语言，其密度是否可判定？
• RQ5 可判定性是否可扩展至具有多个反转有界计数器或一元计数器的单向确定性机器？

主要发现

• 由于其存储语言的正则性，对于具有反转有界工作带的单向非确定性图灵机所接受的语言，其密度是可判定的。
• 可判定性可扩展至单向反转有界的队列自动机、栈自动机和k-翻转下推自动机，因为它们可被此类图灵机模拟。
• 对于具有两个1-反转有界工作带的单向确定性图灵机所接受的语言，其密度是不可判定的。
• 对于一元字母表上具有两个1-反转有界栈的单向非确定性双下推自动机，其密度也是不可判定的。
• 对于一元语言，具有反转有界计数器的双向非确定性计数器机的密度是可判定的，但对于具有一个无限制计数器的双向确定性机器，其密度是不可判定的。
• 可判定与不可判定密度问题之间的边界在于反转有界带的数量，以及是否存在确定性或一元字母表。