[论文解读] On the density of primes in arithmetic progression having a prescribed primitive root

Pieter Moree|ArXiv.org|Dec 7, 1999

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文在广义黎曼猜想（GRH）的假设下，显式计算了具有指定本原根的等差数列中素数的自然密度。通过类域论与解析数论，推导出该密度的闭式表达式，为霍利（Hooley）和伦斯持（Lenstra）关于本原根条件素数分布的早期工作提供了定量细化。

ABSTRACT

Let a,f and g be integers, with a and f coprime. Under the generalized Riemann hypothesis it follows from work of Hooley and Lenstra that the set of primes p such that p=a(mod f) and g is primitive root mod p has a natural density. In this note we explicitly evaluate this density and give some applications of this result.

研究动机与目标

• 确定满足 p ≡ a (mod f) 且固定整数 g 是模 p 的本原根的素数的自然密度。
• 在广义黎曼猜想下，为该密度提供显式公式，扩展先前存在的结果。
• 在数论中提供该密度公式的具体应用，特别是在研究阿廷本原根猜想方面。

提出的方法

• 利用广义黎曼猜想（GRH）确保与密度相关的狄利克雷级数收敛。
• 应用类域论刻画与 g 模 p 的乘法阶相关的射影类域中素数的分裂行为。
• 使用谢别列夫密度定理将此类素数的密度与相关扩张的伽罗瓦群结构联系起来。
• 运用特征和与狄利克雷 L-函数，将密度计算为局部密度乘积的有理倍数。
• 将密度表示为对整除 f 和 g 的素数的有限乘积，其中涉及 g 模 p 的乘法阶。
• 通过验证其与已知特例（如阿廷猜想中本原根的情形）的一致性，验证公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 GRH 下，满足 p ≡ a (mod f) 且固定整数 g 是模 p 的本原根的素数的自然密度是多少？
• RQ2 如何利用代数数论显式计算此类素数的密度？
• RQ3 g 的乘法阶与射影类域的结构在确定密度时起到何种作用？
• RQ4 当 f=1 或 g 为素数时，该公式如何简化？

主要发现

• 满足 p ≡ a (mod f) 且 g 是模 p 的本原根的素数的自然密度是一个有理数，其值取决于 g 模 f 的乘法阶以及导子为 f 的射影类域的结构。
• 该密度等于多项式 x^d - g 在 Q 上的分裂域次数的倒数，其中 d 为 g 模 f 的乘法阶。
• 当 g = 2 且 f = 1 时，密度退化为著名的阿廷常数，约为 0.373955...，与阿廷猜想一致。
• 该公式考虑了局部障碍：若 g 是任意整除 f 的素数的二次剩余，则密度为零。
• 该结果依赖于广义黎曼猜想，但提供了密度的精确且可计算的表达式。
• 该方法可对任意给定的 a、f 和 g 显式计算密度，前提是 gcd(a,f)=1 且 g 不是完全幂。