[论文解读] On the density or measure of sets and their sumsets in the integers or the circle

Pierre‐Yves Bienvenu, François Hennecart|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文解决了整数集和圆周上具有指定下渐近密度与和集密度的子集的存在性问题。它证明了对于任意 $\alpha, \beta \in [0,1]$，若 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$，则存在集合 $A \subset \mathbb{Z}$ 与可测集合 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$，使得 $\underline{\mathrm{d}}(A) = \alpha$ 且 $\underline{\mathrm{d}}(2A) = \beta$，其构造方法基于伪 $k$-次幂与通过 Weyl 准则实现的等分布。

ABSTRACT

Let $\\mathrm{d}(A)$ be the asymptotic density (if it exists) of a sequence of integers $A$. For any real numbers $0\\leq\\alpha\\leq\\beta\\leq 1$, we solve the question of the existence of a sequence $A$ of positive integers such that $\\mathrm{d}(A)=\\alpha$ and $\\mathrm{d}(A+A)=\\beta$. More generally we study the set of $k$-tuples $(\\mathrm{d}(iA))_{1\\leq i\\leq k}$ for $A\\subset \\mathbb{N}$. This leads us to introduce subsets defined by diophantine constraints inside a random set of integers known as the set of ``pseudo $s$th powers''. We consider similar problems for subsets of the circle $\\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$, that is, we partially determine the set of $k$-tuples $(\\mu(iA))_{1\\leq i\\leq k}$ for $A\\subset \\mathbb{R}/\\mathbb{Z}$.

研究动机与目标

• 确定所有可能的 $k$-元组 $(\mathrm{d}(A), \mathrm{d}(2A), \dots, \mathrm{d}(kA))$ 的集合，其中 $A \subset \mathbb{Z}$ 且密度存在。
• 刻画可测子集 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的所有可能 $k$-元组 $(\mu(A), \mu(2A), \dots, \mu(kA))$，其中 Haar 测度存在。
• 在整数与圆周设定下，构造实现任意给定对 $(\alpha, \beta)$ 且满足 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ 的集合。
• 分析通过丢番图约束定义的随机集合的和集密度，特别是伪 $k$-次幂的情形。
• 利用概率方法与等分布理论，将和集密度结果推广至高阶和集。

提出的方法

• 利用 Weyl 的等分布准则，通过无理旋转将 $\mathbb{Z}$ 中的密度与 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上的测度联系起来。
• 通过伪 $k$-次幂——即由丢番图约束定义的随机子集——构造集合，以实现期望的密度分布。
• 应用 Borel-Cantelli 引理，证明在几乎所有情况下，某些区间中除有限多个整数外，其余整数均可表示为 $k$ 重和。
• 利用矩估计与 $R_k(n)$（表示为 $k$ 重和的次数）的方差界，控制 $kA$ 的密度。
• 利用 Landreau 关于伪 $k$-次幂和的结果，估计 $\mathbb{P}(R_k(n) = 0)$，并推导渐近密度。
• 应用定理 1.2（关于分数部分的等分布）以评估在无理旋转下和集期望密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些对 $(\alpha, \beta) \in [0,1]^2$，存在集合 $A \subset \mathbb{Z}$ 使得 $\underline{\mathrm{d}}(A) = \alpha$ 且 $\underline{\mathrm{d}}(2A) = \beta$？
• RQ2 是否每个满足 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ 的此类对都能通过正密度集合 $A$ 实现？
• RQ3 可测子集 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的所有可能 $k$-元组 $(\mu(A), \mu(2A), \dots, \mu(kA))$ 的集合是什么？
• RQ4 通过伪 $k$-次幂定义的随机集合，其高阶和集 $kA$ 的密度行为如何？
• RQ5 能否通过伪 $k$-次幂构造中的参数 $c$ 控制 $kA$ 的密度？

主要发现

• 对于任意 $\alpha, \beta \in [0,1]$ 且满足 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$，存在集合 $A \subset \mathbb{Z}$，使得 $\mathrm{d}(A) = \alpha$ 且 $\mathrm{d}(2A) = \beta$，且 $A$ 具有明确定义的渐近密度。
• 对于任意此类 $\alpha, \beta$，存在可测子集 $A \subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$，使得 $\mu(A) = \alpha$ 且 $\mu(2A) = \beta$；当 $\alpha > 0$ 时，$A$ 可取为有限个开区间的并集。
• 当 $\beta \geq \min(2\alpha, 1)$ 时，$A \subset \mathbb{Z}$ 的所有可能 $k$-元组 $(\mathrm{d}(A), \mathrm{d}(2A), \dots, \mathrm{d}(kA))$ 的集合被完全刻画。
• 对于 $k \geq 2$，$kA$ 的密度 $\mathrm{d}(kA)$ 几乎必然为 $\frac{k}{k+1} - F_k(c)$，其中 $F_k(c)$ 是 $c$ 的单调递减连续函数，满足 $\lim_{c \to 0} F_k(c) = \frac{k}{k+1}$ 且 $\lim_{c \to \infty} F_k(c) = 0$。
• 伪 $k$-次幂的构造确保 $kA$ 的补集密度为零，因此在特定条件下，$k+1$ 重和集的密度满足 $\mathrm{d}(kA) = 1$。
• 非可表示整数 $n$ 的经验密度 $X_N$ 的方差为 $O(N^{-1/k})$，从而保证其以概率几乎必然收敛至期望极限 $\frac{1}{k+1} + F_k(c)$。