[论文解读] On the derivation of the renewal equation from an age-dependent branching process: an epidemic modelling perspective

Swapnil Mishra, Tresnia Berah+7 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 26被引用 10

一句话总结

本文从年龄依赖的分支过程推导出更新方程，为流行病建模中使用该方程提供了基于原理的严谨解释。引入时变基本再生数和外源性输入感染，实现了基于MCMC的贝叶斯推断；应用于韩国新冠数据时，模型成功捕捉了动态传播与输入模式，并给出了可信区间。

ABSTRACT

Renewal processes are a popular approach used in modelling infectious disease outbreaks. In a renewal process, previous infections give rise to future infections. However, while this formulation seems sensible, its application to infectious disease can be difficult to justify from first principles. It has been shown from the seminal work of Bellman and Harris that the renewal equation arises as the expectation of an age-dependent branching process. In this paper we provide a detailed derivation of the original Bellman Harris process. We introduce generalisations, that allow for time-varying reproduction numbers and the accounting of exogenous events, such as importations. We show how inference on the renewal equation is easy to accomplish within a Bayesian hierarchical framework. Using off the shelf MCMC packages, we fit to South Korea COVID-19 case data to estimate reproduction numbers and importations. Our derivation provides the mathematical fundamentals and assumptions underpinning the use of the renewal equation for modelling outbreaks.

研究动机与目标

• 通过从年龄依赖的分支过程推导，为流行病建模中更新方程的数学基础提供严格证明。
• 将更新方程推广，以允许时变基本再生数和外源性感染（如输入病例）的存在。
• 展示如何在分层框架下，利用MCMC实现对更新模型的完整贝叶斯推断。
• 通过真实世界数据（特别是韩国新冠病例数）验证模型，以估计动态传播与输入传播的演变。
• 通过明确关联底层随机过程，阐明更新方程的假设与局限性。

提出的方法

• 使用生成函数处理难以计算的积分，将更新方程作为年龄依赖分支过程的期望进行推导。
• 将序列间隔分布建模为固定的Gamma(6.5, 0.62)分布，并在时间区间上进行离散化。
• 将时变基本再生数参数化为 $ R_t = \exp(\epsilon_t) $，其中 $ \epsilon_t $ 遵循具有约束正态先验的AR(2)过程。
• 通过每日泊松过程引入外源性输入感染，对疫情前40天采用Exponential(0.5)先验。
• 构建分层贝叶斯模型，其联合后验分布为 $ p(\theta, \mu_t, R_t, \phi | f(t)) \propto p(f(t)|\theta,\mu_t,R_t)p(\theta)p(\mu_t)p(R_t)p(\phi) $。
• 使用现成的MCMC软件包进行推断，以估计后验分布和可信区间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从随机的年龄依赖分支过程严格推导出更新方程？
• RQ2 在更新框架内允许时变基本再生数和外源性输入感染会产生何种影响？
• RQ3 如何利用标准MCMC工具高效地对更新模型执行完整贝叶斯推断？
• RQ4 更新模型在多大程度上能够捕捉复杂流行病动态，如多波次传播和输入事件？
• RQ5 更新方程与SIR等分 compartment 模型在结构上存在哪些差异？它们的假设又如何比较？

主要发现

• 更新方程自然地作为年龄依赖分支过程的期望出现，为流行病建模中使用该方程提供了基于原理的解释。
• 模型成功估计出2020年1月初韩国疫情初期基本再生数 $ R_t $ 曾超过2.0。
• 在病例数下降期间，估计的基本再生数低于1.0，与防控措施的效果一致。
• 在整个研究期间，模型检测到每日输入病例数量虽小但非零，可信区间表明持续存在低水平的输入风险。
• 2020年6月的第二波疫情与 $ R_t > 1 $ 的临时升高相关，模型通过时变 $ R_t $ 成功捕捉了这一现象。
• 采用AR(2)过程对 $ \epsilon_t $ 建模，使 $ R_t $ 的动态变化平滑且符合实际，同时通过后验可信区间实现了恰当的不确定性量化。