[论文解读] On the derivative of the associated Legendre function of the first kind of integer order with respect to its degree

Radosław Szmytkowski|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2009

Mathematical functions and polynomials参考文献 65被引用 16

一句话总结

本文推导了第一类连带勒让德函数 $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ 关于其阶数 $ \nu $ 的显式表示式与罗德里格斯型公式，适用于整数 $ m $。建立了 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 的围线积分与闭式表达式，进而用于构造第二类连带勒让德函数 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 的新显式与罗德里格斯型表示式，适用于复平面上的数值计算。

ABSTRACT

In our recent works [R. Szmytkowski, J. Phys. A 39 (2006) 15147; corrigendum: 40 (2007) 7819; addendum: 40 (2007) 14887], we have investigated the derivative of the Legendre function of the first kind, $P_ν(z)$, with respect to its degree $ν$. In the present work, we extend these studies and construct several representations of the derivative of the associated Legendre function of the first kind, $P_ν^{\pm m}(z)$, with respect to the degree $ν$, for $m\in\mathbb{N}$. At first, we establish several contour-integral representations of $\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν$. They are then used to derive Rodrigues-type formulas for $[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ with $n\in\mathbb{N}$. Next, some closed-form expressions for $[\partial P_ν^{\pm m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ are obtained. These results are applied to find several representations, both explicit and of the Rodrigues type, for the associated Legendre function of the second kind of integer degree and order, $Q_{n}^{\pm m}(z)$; the explicit representations are suitable for use for numerical purposes in various regions of the complex $z$-plane. Finally, the derivatives $[\partial^{2}P_ν^{m}(z)/\partialν^{2}]_{ν=n}$, $[\partial Q_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=n}$ and $[\partial Q_ν^{m}(z)/\partialν]_{ν=-n-1}$, all with $m>n$, are evaluated in terms of $[\partial P_ν^{-m}(\pm z)/\partialν]_{ν=n}$.

研究动机与目标

• 系统研究整数 $ m \in \mathbb{N} $ 下第一类连带勒让德函数 $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ 关于其阶数 $ \nu $ 的导数，扩展先前对 $ P_\nu(z) $ 的研究。
• 推导 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 的围线积分表示式，以实现对整数 $ \nu = n $ 处导数的解析与数值处理。
• 构建 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 的显式与罗德里格斯型公式，提供包含对波函数 $ \psi(\zeta) $ 的闭式表达式。
• 将上述结果应用于推导第二类连带勒让德函数 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 的新表示式——显式与罗德里格斯型——适用于复 $ z $-平面上的不同区域。
• 以 $ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 表示高阶导数 $ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $、$ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 与 $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $，尤其针对 $ m > n $ 的情形。

提出的方法

• 利用复分析推导 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 的围线积分表示式，积分路径避开 $ t = 1 $、$ t = -1 $ 与 $ t = z $ 之间的分支切割。
• 利用围线积分形式，推导 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 的罗德里格斯型公式，推广了针对标准勒让德函数的朱利夫公式。
• 获得 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 的闭式表达式，涉及勒让德多项式与对波函数 $ \psi(\zeta) $ 的求和。
• 将 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 在 $ \nu = n $ 处的推导结果应用于构造 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 的新显式与罗德里格斯型表示式，适用于复 $ z $-平面上的不同区域。
• 利用 $ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu $ 在 $ \nu = n $ 处的关系，评估 $ Q_\nu^m(z) $ 在 $ \nu = n $ 与 $ \nu = -n-1 $ 处的高阶导数，尤其针对 $ m > n $ 的情形。
• 采用泊赫玛尔围线与解析延拓技术，处理分支点奇点，并确保在复平面不同区域的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于整数 $ m \in \mathbb{N} $ 与 $ \nu = n \in \mathbb{N} $，$ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 的围线积分与闭式表示式为何？
• RQ2 如何将罗德里格斯型公式推广至 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $，以扩展已知的 $ P_\nu(z) $ 结果？
• RQ3 能否利用 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 在 $ \nu = n $ 处的推导结果，构造 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 的显式与罗德里格斯型公式？
• RQ4 当 $ m > n $ 时，$ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $、$ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 与 $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $ 的值为何？它们与 $ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 的关系如何？
• RQ5 所推导的 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 表示式在复 $ z $-平面不同区域的数值表现如何？

主要发现

• 本文推导了 $ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu $ 的围线积分表示式，其中围线 $ \mathscr{C}^{(+)} $ 包围从 $ t = 1 $ 到 $ t = z $ 的分支切割，支持解析延拓并可在整数 $ \nu = n $ 处进行求值。
• 建立了 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 的罗德里格斯型公式，推广了朱利夫针对 $ P_\nu(z) $ 的公式，涉及 $ (z^2 - 1)^n \ln\frac{z+1}{2} $ 的导数。
• 推导出 $ \left[ \partial P_{\nu}^{\pm m}(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 的闭式表达式，以勒让德多项式与 $ \psi(k+n+1) - \psi(k+1) $ 的求和表示，系数包含二项式与阶乘项。
• 基于 $ P_{\nu}^{\pm m}(z) $ 的导数表达式，构造了适用于 $ 0 \leq m \leq n $ 与 $ m > n $ 的 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 的新显式与罗德里格斯型表示式。
• 高阶导数 $ \left[ \partial^2 P_\nu^m(z)/\partial\nu^2 \right]_{\nu=n} $、$ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 与 $ \left[ \partial Q_\nu^m(z)/\partial\nu \right]_{\nu=-n-1} $ 均以 $ \left[ \partial P_\nu^{-m}(\pm z)/\partial\nu \right]_{\nu=n} $ 表示，尤其在 $ m > n $ 时，建立了不同函数类之间的递归联系。
• 所推导的 $ Q_n^{\pm m}(z) $ 公式因其包含对数与有理函数项的结构，明确适用于复 $ z $-平面上的数值计算，包括分支切割附近与无穷远处的区域。