[论文解读] On the derivatives $\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}$ and $\partial Q_{ u}(z)/\partial u$ of the Legendre functions with respect to their degrees

Radosław Szmytkowski|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 25被引用 1

一句话总结

本文推导了第一类勒让德函数的二阶导数 $∂^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2$ 在整数阶 $ν = n$ 处，以及第二类勒让德函数的一阶导数 $∂ Q_\nu(z)/\partial\nu$ 在 $ν = n$ 处的闭式表达式，结果以多对 polylogarithm 函数 $ϴ_2$、勒让德多项式以及显式构造的多项式 $B_n(z)$ 和 $C_n(z)$ 表示。这些结果扩展了此前关于一阶导数的研究，并提供了涉及特殊函数与多 digamma 函数的精确解析公式。

ABSTRACT

We provide closed-form expressions for the degree-derivatives $[\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}]_{ u=n}$ and $[\partial Q_{ u}(z)/\partial u]_{ u=n}$, with $z\in\mathbb{C}$ and $n\in\mathbb{N}_{0}$, where $P_{ u}(z)$ and $Q_{ u}(z)$ are the Legendre functions of the first and the second kind, respectively. For $[\partial^{2}P_{ u}(z)/\partial u^{2}]_{ u=n}$, we find that $$\displaystyle\frac{\partial^{2}P_{ u}(z)}{\partial u^{2}}\bigg|_{ u=n}=-2P_{n}(z) extrm{Li}_{2}\frac{1-z}{2}+B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}+C_{n}(z),$$ where $ extrm{Li}_{2}[(1-z)/2]$ is the dilogarithm function, $P_{n}(z)$ is the Legendre polynomial, while $B_{n}(z)$ and $C_{n}(z)$ are certain polynomials in $z$ of degree $n$. For $[\partial Q_{ u}(z)/\partial u]_{ u=n}$ and $z\in\mathbb{C}\setminus[-1,1]$, we derive $$\displaystyle \frac{\partial Q_{ u}(z)}{\partial u}\bigg|_{ u=n}=-P_{n}(z) extrm{Li}_{2}\frac{1-z}{2}-\frac{1}{2}P_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}\ln\frac{z-1}{2} +\frac{1}{4}B_{n}(z)\ln\frac{z+1}{2}-\frac{(-1)^{n}}{4}B_{n}(-z)\ln\frac{z-1}{2}-\frac{\pi^{2}}{6}P_{n}(z) +\frac{1}{4}C_{n}(z)-\frac{(-1)^{n}}{4}C_{n}(-z).$$ A counterpart expression for $[\partial Q_{ u}(x)/\partial u]_{ u=n}$, applicable when $x\in(-1,1)$, is also presented. Explicit representations of the polynomials $B_{n}(z)$ and $C_{n}(z)$ as linear combinations of the Legendre polynomials are given.

研究动机与目标

• 推导第一类勒让德函数 $P_\nu(z)$ 关于其阶数 $ν$ 的二阶导数在整数 $ν = n$ 处的闭式表达式。
• 将此前关于 $P_\nu(z)$ 阶数一阶导数的研究结果扩展至二阶导数，提供完整的解析公式。
• 为第二类勒让德函数 $Q_\nu(z)$ 关于 $ν$ 的一阶导数在 $ν = n$ 处推导出类似的闭式表达式，适用于 $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ 与 $x \in (-1,1)$ 两种情形。
• 显式地将出现在导数公式中的多项式 $B_n(z)$ 与 $C_n(z)$ 表示为勒让德多项式的线性组合。
• 利用递推关系、求和恒等式及特殊函数理论（包括 digamma 与 trigamma 函数）提供所推导公式的严格解析证明。

提出的方法

• 通过将标准勒让德函数递推关系对 $ν$ 两次求导，解所得二阶差分方程，推导出二阶阶数导数 $∂^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2|_{\nu=n}$。
• 以已知的一阶导数公式 $∂ P_\nu(z)/\partial\nu|_{\nu=n} = P_n(z) \ln\left(\frac{z+1}{2}\right) + R_n(z)$ 作为初始条件，其中 $R_n(z)$ 以 digamma 函数与勒让德多项式表示。
• 应用涉及 digamma 函数 $\psi(z)$、trigamma 函数 $\psi_1(z)$ 与类似调和数的求和恒等式，推导出多项式 $B_n(z)$ 与 $C_n(z)$ 的显式形式。
• 对于 $Q_\nu(z)$，利用积分表示与解析延拓推导一阶阶数导数，分别给出 $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ 与 $x \in (-1,1)$ 的表达式。
• 将 dilogarithm 函数 $ϴ_2(z) = -\int_0^z \frac{\ln(1-t)}{t} dt$ 作为两个导数公式中的关键组成部分。
• 提供涉及交错和与有理函数的辅助求和公式的详细证明，利用调和数与多 digamma 函数的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在整数阶 $ν = n$ 处，第二阶导数 $∂^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2$ 的闭式表达式是什么？
• RQ2 导数公式中出现的多项式 $B_n(z)$ 与 $C_n(z)$ 如何显式地用勒让德多项式表示？
• RQ3 在 $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$ 时，$∂ Q_\nu(z)/\partial\nu$ 在 $ν = n$ 处的解析形式是什么？
• RQ4 当 $x \in (-1,1)$ 时，$∂ Q_\nu(x)/\partial\nu|_{\nu=n}$ 的表达式与复数情形有何不同？
• RQ5 所推导的公式能否通过函数恒等式从非负整数 $n$ 扩展至负整数？

主要发现

• 在 $ν = n$ 处，$P_\nu(z)$ 的二阶导数为 $∂^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2|_{\nu=n} = -2P_n(z)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-z}{2}\right) + B_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right) + C_n(z)$，其中 $B_n(z)$ 与 $C_n(z)$ 是 $z$ 的 $n$ 次多项式。
• 多项式 $B_n(z)$ 显式表示为 $4[\psi(2n+1) - \psi(n+1)]P_n(z) + 4\sum_{k=0}^{n-1} \frac{2k+1}{(n-k)(n+k+1)} P_k(z)$，涉及 digamma 函数 $\psi(z)$。
• 多项式 $C_n(z)$ 由包含 $\psi(2n+1)$、$\psi_1(2n+1)$ 以及依赖于 digamma 与 trigamma 函数的系数的勒让德多项式交错和构成的复杂表达式给出。
• 对于 $z \in \mathbb{C} \setminus [-1,1]$，$Q_\nu(z)$ 在 $ν = n$ 处的一阶导数为 $∂ Q_\nu(z)/\partial\nu|_{\nu=n} = -P_n(z)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-z}{2}\right) - \frac{1}{2}P_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right)\ln\left(\frac{z-1}{2}\right) + \frac{1}{4}B_n(z)\ln\left(\frac{z+1}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{4}B_n(-z)\ln\left(\frac{z-1}{2}\right) - \frac{\pi^2}{6}P_n(z) + \frac{1}{4}C_n(z) - \frac{(-1)^n}{4}C_n(-z)$。
• 对于 $x \in (-1,1)$，导数 $∂ Q_\nu(x)/\partial\nu|_{\nu=n}$ 推导为 $-P_n(x)\, \mathrm{Li}_2\left(\frac{1-x}{2}\right) - \frac{1}{2}P_n(x)\ln\left(\frac{1+x}{2}\right)\ln\left(\frac{1-x}{2}\right) + \frac{1}{4}B_n(x)\ln\left(\frac{1+x}{2}\right) - \frac{(-1)^n}{4}B_n(-x)\ln\left(\frac{1-x}{2}\right) - \frac{\pi^2}{6}P_n(x) + \frac{1}{4}C_n(x) - \frac{(-1)^n}{4}C_n(-x)$。
• 所推导的公式对所有 $n \in \mathbb{N}_0$ 成立，且 $∂^2 P_\nu(z)/\partial\nu^2|_{\nu=n}$ 的结果可通过恒等式 $P_{-\nu-1}(z) = P_\nu(z)$ 扩展至负整数。