[论文解读] On the derived category of 1-motives

Luca Barbieri-Viale, Bruno Kahn|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

该论文在对指数特征进行倒数后，将完美域上德利涅1-动机的导出范畴嵌入到沃埃沃茨基的平展三角范畴几何动机中。它构造了该嵌入的左伴随函子 LAlb，该函子将代数簇的动机表示为1-动机的有界复形——对光滑簇完全确定，对奇异簇部分确定——从而给出罗伊特曼型定理的动机证明，并确立了德利涅关于1-动机猜想的新情形。

ABSTRACT

This is the final version of the 2007 preprint titled "On the derived category of 1-motives, I". It has been substantially expanded to contain a motivic proof of (two thirds of) Deligne's conjecture on 1-motives with rational coefficients, hence the new title. Compared to the 2007 preprint, the additions mainly concern an abstract theory of realisations with weight filtrations; Deligne's conjecture is tackled though them by an adjunction game.

研究动机与目标

• 在对指数特征进行倒数后，将1-动机的导出范畴嵌入到沃埃沃茨基的几何动机三角范畴中。
• 为该嵌入构造一个左伴随函子 LAlb，该函子将每个簇映射为1-动机的有界复形。
• 计算光滑与奇异簇的 LAlb(X) 与 RPic(X)，为阿爾巴內塞与佩卡德复形提供动机解释。
• 给出罗伊特曼型定理的动机证明，并确立德利涅关于1-动机猜想的新情形。
• 通过对偶与转移结构，厘清代数簇1-动机层、同伦t-结构与1-动机导出范畴之间的关系。

提出的方法

• 在对p进行倒数后，将1-动机的导出范畴嵌入到沃埃沃茨基的几何动机三角范畴的平展版本 DM_{gm,ét}^{eff} 中。
• 构造一个普遍实现函子 T，其诱导出 D^b(M_1[1/p]) 到 DM_{gm,ét}^{eff} 的全满嵌入，且像包含于子范畴 d_{≤1}DM_{gm,ét}^{eff} 中。
• 将左伴随函子 LAlb 定义为涉及总函子 Tot 与动机卡蒂埃对偶的复合，利用 DM_{gm,ét}^{eff} 上的同伦t-结构。
• 利用同伦t-结构与1-动机层理论，刻画嵌入的像，并证明关键函子的t-正合性。
• 应用爆破归纳法与eh-拓扑，通过Mayer-Vietoris与Gysin结构计算奇异概形的 LAlb(X) 与 RPic(X)。
• 在 D^b(M_1 ⊗ ℚ) 上建立张量结构，并导出内 Hom 的公式，从而实现与查沃动机及佩卡德复形的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 1-动机的导出范畴如何被嵌入到沃埃沃茨基的几何动机三角范畴中？该嵌入的像是什么？
• RQ2 1-动机导出范畴到 DM_{gm,ét}^{eff}[1/p] 的嵌入是否允许左伴随函子？其几何解释是什么？
• RQ3 光滑与奇异簇的 LAlb(X) 的显式计算是什么？它与经典阿爾巴內塞与佩卡德簇有何关系？
• RQ4 能否使用动机方法证明罗伊特曼型定理及德利涅关于1-动机猜想的新情形？
• RQ5 1-动机层与同伦t-结构如何与1-动机导出范畴及动机t-结构相互作用？

主要发现

• 在对指数特征进行倒数后，完美域上1-动机的导出范畴可全满嵌入到沃埃沃茨基的几何动机平展三角范畴中。
• 该嵌入允许一个左伴随函子 LAlb，其将簇的动机映射为1-动机的有界复形。
• 对光滑簇，LAlb(X) 被计算为仅在度数0与1非零的复形，其中 H^0 = Alb(X)，H^1 = Pic^0(X)，从而恢复经典阿爾巴內塞与佩卡德映射。
• 对奇异簇，LAlb(X) 通过eh-拓扑与爆破归纳法部分计算，其中 H^0 由同调阿爾巴內塞复形给出。
• 函子 RPic 被构造为 Tot 的右伴随，其上同调群 R^iPic(X) 被识别为 X 的上同调佩卡德层。
• 给出了罗伊特曼型定理的动机证明，并确立了德利涅关于1-动机猜想的新情形，包括导出范畴中某些Ext群的消失性。