[论文解读] On the Design of Locking Free Ghost Penalty Stabilization and the Relation to CutFEM with Discrete Extension

Erik Burman, Peter Hansbo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2022

Numerical methods for differential equations被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型的剪切罚惩罚稳定化方法，用于剪切有限元法，通过允许对任意泛函（如单个自由度）进行稳定化，并支持超越面邻接关系的单元间连接，从而推广了以往的方法。关键贡献在于证明了节点稳定化满足鲁棒性条件，使得稳定化参数可趋于无穷大而不发生锁死，从而在剪切有限元法中建立了与离散扩展算子的直接等价性。

ABSTRACT

In this note, we develop a new stabilization mechanism for cut finite element methods that generalizes previous approaches of ghost penalty type in two ways: (1) The quantity that is stabilized and (2) The choice of elements that are connected in the stabilization. In particular, we can stabilize functionals of the discrete function such as finite element degrees of freedom. We subsequently show that the kernel of our ghost penalty operator defines a finite element space based on discrete extensions in the spirit of those introduced in Burman, E.; Hansbo, P. and Larson, M. G., CutFEM Based on Extended Finite Element Spaces, arXiv2101.10052, 2021.

研究动机与目标

• 开发一种广义的剪切罚惩罚稳定化框架，其应用范围超越标准的基于单元的稳定化方法，适用于剪切有限元法。
• 实现对离散解的任意泛函（如单个自由度）的稳定化，以实现对不稳定模式的更精确控制。
• 证明广义稳定化方法在稳定化参数趋于无穷大时仍避免锁死，确保鲁棒性。
• 在剪切有限元法中，建立剪切罚惩罚稳定化与离散扩展算子之间的直接理论与算法关联。
• 提供一个统一的框架，支持二阶椭圆问题的最优阶收敛和条件数估计。

提出的方法

• 提出一种广义的剪切罚惩罚形式，其中被稳定化的量为离散函数的泛函，包括节点自由度。
• 引入一种灵活的耦合策略，允许与边界相交的单元通过距离与网格尺寸成比例的单元进行稳定化，而不仅限于面邻接单元。
• 定义一种直接作用于自由度的稳定化形式，使得在稳定化参数趋于无穷大的极限下，可强加约束。
• 利用离散扩展算子框架，将剪切罚惩罚与基于扩展的稳定化关联，证明在大稳定化参数极限下两者等价。
• 应用反向不等式和标准扩展的稳定性估计，推导稳定化形式的界。
• 在罚项的局部化和强度满足充分条件时，建立离散双线性形式的强制性。

实验结果

研究问题

• RQ1 剪切罚惩罚稳定化能否推广至稳定化离散解的任意泛函（如单个自由度），而非仅限于基于单元的量？
• RQ2 当稳定化参数趋于无穷大时，广义剪切罚惩罚公式是否仍保持鲁棒性和无锁死特性？
• RQ3 所提出的节点稳定化与剪切有限元法中的离散扩展算子框架有何关系？
• RQ4 单元间耦合的何种条件可确保剪切有限元法中的稳定性和最优收敛性？
• RQ5 广义剪切罚惩罚形式能否满足稳定性与最优误差估计的抽象框架？

主要发现

• 所提出的节点稳定化满足鲁棒性和最优收敛性所需的必要条件，即使在稳定化参数趋于无穷大的情况下亦成立。
• 剪切罚惩罚算子的核恰好对应于由离散扩展定义的有限元空间，从而在稳定化与扩展方法之间建立了直接等价性。
• 广义剪切罚惩罚形式确保了二阶椭圆问题的最优阶先验误差估计和条件数界。
• 通过满足必要的强制性和一致性条件，该方法在无穷大罚参数极限下仍能实现稳定性和最优收敛性，避免锁死。
• 理论框架可自然推广至高阶椭圆问题，如与相关工作比较所示。
• 分析结果证实，当耦合具有充分局部化且罚参数选择适当时，稳定化形式具有强制性。