[论文解读] On the determinant of the distance matrix of a bicyclic graph

Shi-Cai Gong, Ju‐Li Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2013

Graph theory and applications参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文推导出由一条路径连接的两个不相交环组成的双环图的距离矩阵的闭式公式，该公式推广了已知的树和单环图结果。行列式取决于环长 $ p $ 和 $ q $、路径长 $ k $ 以及附加树的顶点数 $ n $，当 $ p $ 或 $ q $ 为偶数时行列式为零，否则其值为 $ \left[\frac{(pq-1)(p+q)}{4} + \frac{n}{2}pq\right](-2)^n $。

ABSTRACT

Two cycles are referred as disjoint if they have no common edges. In this paper, we will investigate the determinant of the distance matrix of a graph, giving a formula for the determinant of the distance matrix of a bicyclic graph whose two cycles are disjoint, which extends the formula for the determinant of the distance matrix of a tree, as well as that of a unicyclic graph.

研究动机与目标

• 将已知的树和单环图的距离矩阵行列式公式推广至具有两个不相交环的双环图。
• 建立两个边不相交的环构成的双环图的距离矩阵行列式的通用公式。
• 研究附加树的结构如何影响此类图的距离矩阵的行列式。
• 证明行列式与附加树的内部结构无关，仅依赖于核心双环结构。

提出的方法

• 将 $\infty(p,k,q)$ 图定义为通过长度为 $k-1$ 的路径连接的两个不相交环 $C_p$ 和 $C_q$，其中 $k=1$ 表示顶点重合。
• 利用来自路径结构的 $C_k$、$C_h$ 和向量 $F_k$、$F_h$，对核心 $\infty(p,k,q)$ 图的距离矩阵进行块矩阵建模。
• 使用矩阵分解和块行列式恒等式，简化完整距离矩阵的行列式计算。
• 应用引理 2.1 计算 $\det(C_k)$ 和 $F_k C_k^{-1} F_k^T$，得到涉及环长的闭式表达式。
• 应用引理 2.2 求解行列式展开中出现的递推关系，适用于一般 $n$。
• 通过块矩阵变换和行列式恒等式，将核心行列式与 $n$ 个附加树的贡献相结合，推导出最终的行列式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有两个不相交环的双环图的距离矩阵行列式如何依赖于环长和连接路径？
• RQ2 能否以闭式表达双环图的距离矩阵行列式，从而推广已知的树和单环图公式？
• RQ3 附加到核心 $\infty(p,k,q)$ 图的树的结构是否影响距离矩阵的行列式？
• RQ4 在何种条件下，此类双环图的距离矩阵行列式为零？
• RQ5 行列式与附加树数量 $n$ 之间的确切代数关系是什么？

主要发现

• 具有两个不相交环的双环图的距离矩阵行列式，当任一环长 $p$ 或 $q$ 为偶数时为零。
• 当 $p$ 和 $q$ 均为奇数时，行列式为 $\left[\frac{(pq-1)(p+q)}{4} + \frac{n}{2}pq\right](-2)^n$，其中 $n$ 为附加树中的顶点数。
• 行列式与附加树的内部结构无关，仅依赖于此类顶点的数量 $n$。
• 该公式推广了格拉汉姆与波拉克的经典结果（适用于树），当 $p=q=1$ 时可恢复为 $(-1)^{n-1}(n-1)2^{n-2}$ 的特例。
• 当将一个环视为单个顶点（即 1-环）时，该公式亦可恢复已知的单环图结果，表明与先前工作的一致性。
• 推导结果证实，行列式仅依赖于环长 $p$、$q$ 和附加顶点数 $n$，而与树的具体拓扑结构无关。