[论文解读] On the determination of a function from its cone transform with fixed central axis

Sunghwan Moon|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Statistical and numerical algorithms参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了具有固定中心轴的n维锥变换，推导出两种反演公式、稳定性估计以及有限数据下的唯一性与重建结果。研究证明锥变换是一种等距变换，并提供了从其锥积分重建函数的显式反演方法，相关成果在单光子发射计算机断层扫描（SPECT）的康普顿相机成像中具有应用价值。

ABSTRACT

A Radon-type transform called a cone transform that assigns to a given function its integral over various sets of cones has arisen in the last decade in the context of the study of Compton cameras used in Single Photon Emission Computed Tomography. Here, we study the cone transform for which the central axis of the cones of integration is fixed. We present many of its properties, such as two inversion formulas, a stability estimate, and uniqueness and reconstruction for a local data problem.

研究动机与目标

• 研究n维空间中具有固定中心轴的锥变换的数学性质。
• 建立从锥变换数据重建函数的反演公式。
• 分析在有限数据条件下重建的稳定性和唯一性。
• 推导奇数维空间中锥变换的范围条件。
• 为单光子发射计算机断层扫描（SPECT）中的康普顿相机成像提供理论基础。

提出的方法

• 通过在平面上固定顶点和中心轴对n维锥变换进行形式化，基于锥面上的积分定义。
• 利用傅里叶分析和变换的径向对称性，推导出两种反演公式。
• 应用傅里叶切片定理的类比，将锥变换与函数的傅里叶变换联系起来。
• 使用投影算子和逆傅里叶变换处理有限数据的重建问题。
• 引入Sobolev空间估计，并证明在适当的函数空间下，锥变换为等距变换。
• 应用Radon变换的支撑定理，建立有限数据问题中重建的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅获得部分数据（有限|v|）时，能否唯一重建函数？
• RQ2 在n维空间中，具有固定中心轴的锥变换的反演公式是什么？
• RQ3 在锥变换数据发生微小扰动时，重建过程的稳定性如何？
• RQ4 奇数维空间中锥变换的范围条件是什么？
• RQ5 锥变换与Radon变换在等距性和反演方面有何关系？

主要发现

• 推导出具有固定中心轴的锥变换的两种反演公式，可实现从其锥积分对原函数的精确重建。
• 证明锥变换在适当的函数空间上为等距变换，确保重建过程的稳定性。
• 在Sobolev空间中建立了稳定性估计，量化了数据扰动下的重建误差。
• 证明了在局部数据问题中（即仅在|v|∈(a,b)范围内获得锥变换数据时）的唯一性与重建可行性。
• 利用支撑定理与傅里叶分析，刻画了奇数维空间中锥变换的范围。
• 通过投影算子与逆傅里叶变换实现有限数据锥变换的重建，且其与Riesz势及完整变换之间存在精确关系。