[论文解读] On the diameter of lattice polytopes

Alberto Del Pia, Carla Michini|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文建立了包含在 $[0,k]^d$ 中的 $d$ 维格点多面体的直径的改进上界，表明其至多为 $\left\lfloor\left(k - \frac{1}{2}\right)d\right\rfloor$。证明方法包括归纳法、顶点投影以及面对结构的分析，且当 $k=2$ 时该上界是紧的，此时半整数多面体的直径为 $\left\lfloor\frac{3}{2}d\right\rfloor$。

ABSTRACT

In this paper we show that the diameter of a d-dimensional lattice polytope in [0,k]^n is at most (k - 1/2) d. This result implies that the diameter of a d-dimensional half-integral polytope is at most 3/2 d. We also show that for half-integral polytopes the latter bound is tight for any d.

研究动机与目标

• 建立包含在 $[0,k]^d$ 中的 $d$ 维格点多面体的更紧致上界。
• 通过 Kleinschmidt 和 Onn 的已知上界 $kd$ 进行改进，尤其针对 $k \geq 2$ 的情形。
• 证明上界 $\left\lfloor\left(k - \frac{1}{2}\right)d\right\rfloor$ 在 $k=2$ 时对所有 $d$ 均为紧致。
• 将结果推广至半整数多面体，其仿射等价于 $(0,2)$-多面体。
• 研究最大直径 $\delta_k^d$ 的渐近行为，并识别已知下界与上界之间的差距。

提出的方法

• 在维度 $d$ 上使用归纳法，包含 $d=1$ 和 $d=2$ 的基础情形。
• 应用顶点投影，将 $d$ 维多面体简化为 $\mathbb{R}^d$ 中的全维多面体，同时保持 1-骨架不变。
• 使用面对投影及线性泛函的最小化，通过低维多面体来界定距离。
• 应用引理 3，通过面上 $x_i + x_j$ 的最小值来界定路径长度。
• 使用引理 4，以 $\delta_k^{d-2}$ 和最小和 $\gamma$ 来界定投影面对的直径。
• 基于顶点相对于超立方体 $[0,k]^d$ 的位置进行情形分析，利用变量替换 $\tilde{x}_i = k - x_i$ 实现对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $d$ 维 $(0,k)$-多面体的直径更紧致地界定于 $kd$ 以下？
• RQ2 上界 $\left\lfloor\left(k - \frac{1}{2}\right)d\right\rfloor$ 在 $k=2$ 时是否为紧致？
• RQ3 半整数多面体的最大直径是多少，其与 $(0,2)$-多面体有何关联？
• RQ4 $\delta_k^d$（即 $d$ 维 $(0,k)$-多面体的最大直径）的渐近增长行为如何？
• RQ5 对于 $k \geq 3$，当前上界能否进一步改进，抑或方法本身存在根本性局限？

主要发现

• 任意 $d$ 维 $(0,k)$-多面体的直径至多为 $\left\lfloor\left(k - \frac{1}{2}\right)d\right\rfloor$，优于先前的 $kd$ 上界。
• 当 $k=2$ 时，上界 $\left\lfloor\frac{3}{2}d\right\rfloor$ 对所有 $d$ 均为紧致，通过笛卡尔积的显式构造得以证明。
• 多面体 $H_d = (H_2)^{d/2}$（当 $d$ 为偶数时）以及 $H_d = H_{d-1} \times H_1$（当 $d$ 为奇数时）实现了直径 $\left\lfloor\frac{3}{2}d\right\rfloor$。
• 顶点位于 $\{0, \frac{1}{2}, 1\}^d$ 的半整数多面体，其直径至多为 $\left\lfloor\frac{3}{2}d\right\rfloor$，与 $(0,2)$-多面体的上界一致。
• 目前 $\delta_k^d$ 的最佳下界为 $\Omega(k^{2/3}d)$，源自具有 $\Theta(k^{2/3})$ 个顶点的二维 $(0,k)$-多面体。
• 渐近差距依然存在：最佳上界在 $k$ 和 $d$ 上均为线性，而最佳已知下界为 $k^{2/3}$ 量级，表明仍有改进空间。