[论文解读] On the dichotomy of a locally compact semitopological bicyclic monoid with adjoined zero

Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 17

一句话总结

本文证明，赋予零元的豪斯多夫局部紧致半拓扑双循环幺半群，若其为局部紧致，则必为紧致或离散，推广了类似于拓扑群中魏尔定理的二分性结果。证明利用商映射、紧致理想及Din’N’e T’ong定理，表明非开的紧致理想将迫使空间为紧致；同时构造反例表明，该结果在Čech完备度量化的逆半群中不成立。

ABSTRACT

We prove that a Hausdorff locally compact semitopological bicyclic semigroup with adjoined zero $\mathscr{C}^0$ is either compact or discrete. Also we show that the similar statement holds for a locally compact semitopological bicyclic semigroup with an adjoined compact ideal and construct an example which witnesses that a counterpart of the statements does not hold when $\mathscr{C}^0$ is a Čech-complete metrizable topological inverse semigroup.

研究动机与目标

• 建立赋予零元的局部紧致半拓扑双循环幺半群的拓扑二分性，其类比于拓扑群中的魏尔定理。
• 探究当零元被紧致理想替代时，紧致或离散的二分性是否仍适用于半拓扑半群。
• 通过构造Čech完备度量化的拓扑逆半群中的反例，确定该二分性的适用边界。
• 推广早期关于双循环幺半群在拓扑半群中闭包与理想结构的研究结果。
• 阐明遗传商映射与商拓扑在保持局部紧致性与半拓扑结构中的作用。

提出的方法

• 利用Rees商构造，将具有紧致理想的半群约化为同构于带零元的双循环幺半群的商。
• 应用Din’N’e T’ong定理，当原半群为局部紧致且理想为紧致时，推导出商空间为局部紧致豪斯多夫空间。
• 利用遗传商映射的性质，确保商拓扑保持局部紧致性与分离公理。
• 利用双循环幺半群中孤立点的性质，表明理想开邻域的补集在商空间中为闭离散集。
• 利用补集在商映射下的有限像，推导出若理想非开，则原空间为紧致。
• 通过构造一个Čech完备度量化的拓扑逆半群作为反例，表明在此设定下该二分性不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种拓扑条件下，赋予零元的局部紧致半拓扑双循环幺半群会表现出紧致或离散的二分性？
• RQ2 当零元被半拓扑半群中的紧致理想替代时，该二分性是否仍然成立？
• RQ3 该二分性能否推广至Čech完备度量化的拓扑逆半群？
• RQ4 商映射与遗传商映射在保持半拓扑半群中局部紧致性方面起何种作用？
• RQ5 双循环幺半群的余稠密子半群结构如何与局部紧致半拓扑半群中的闭包与理想结构相互作用？

主要发现

• 一个豪斯多夫局部紧致半拓扑双循环幺半群（附带零元）必为紧致或离散。
• 对于具有附带紧致理想的局部紧致半拓扑双循环半群，该二分性同样成立。
• 从半群到其关于紧致理想的Rees商的自然商映射是遗传商映射。
• 若紧致理想非开，则商空间为紧致，从而迫使原空间为紧致。
• 证明依赖于Din’N’e T’ong定理，以得出商空间为局部紧致豪斯多夫空间。
• 反例表明，当半群为Čech完备度量化的拓扑逆半群时，该二分性不成立，从而证明了局部紧致性假设的必要性。