[论文解读] On the digital representation of integers with bounded prime factors

Yann Bugeaud|Osaka City University (Osaka City University)|Sep 26, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文研究了在给定进制下，具有有界素因子的整数的数字表示，表明：若一个大整数不被该进制整除且仅由小素因子构成，则其在该进制下的展开式中非零数字位数至少为四个。通过使用丢番图逼近工具——特别是对数线性型和施密特子空间定理——本文建立了此类整数的最大素因子的有效的下界，证明其增长速度快于任何 $(\log\log n)$ 的幂次。

ABSTRACT

Let $b \ge 2$ be an integer. Not much is known on the representation in base $b$ of prime numbers or of numbers whose prime factors belong to a given, finite set. Among other results, we establish that any sufficiently large integer which is not a multiple of $b$ and has only small (in a suitable sense) prime factors has at least four nonzero digits in its representation in base $b$.

研究动机与目标

• 确定在进制 $b$ 下，仅由小素因子构成且非零数字位数较少的整数是否可以任意大。
• 为具有较少非零数字位数的整数在给定进制下的最大素因子建立有效的下界。
• 使用先进的丢番图逼近技术，将关于二元和三元形式的已知结果推广到具有三个非零数字的情形。
• 提供此类整数的最大素因子增长的显式、可计算的界，改进了施密特子空间定理所得的定性结果。

提出的方法

• 应用施密特子空间定理，证明在进制 $b$ 下非零数字位数不超过 $k$ 的整数的 $S$-部分的增长速度慢于该数的任意正幂次，从而表明最大素因子趋于无穷。
• 利用对数线性型推导出在进制 $b$ 下恰好具有三个非零数字的整数的最大素因子的有效下界。
• 运用三对数线性型的理论，估计此类数的 $S$-部分的大小，从而得到形如 $[u_j^{(3)}]_S \leq (u_j^{(3)})^{1 - c_4}$ 的幂次节省界。
• 在证明中应用算术-几何平均不等式，以导出 $u_j^{(3)}$ 的无平方部分的下界，从而加强最大素因子结果。
• 结合素数定理的估计与对数界，将数的大小与最大素因子的增长联系起来。
• 推导出仅依赖于进制 $b$ 和允许素因子集合 $S$ 的有效常数，确保界是可计算的。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在不被 $b$ 整除且仅由小素因子构成、在进制 $b$ 下表示中仅有两个或三个非零数字的任意大的整数？
• RQ2 随着此类整数的增大，其最大素因子的增长速率如何？
• RQ3 能否为在进制 $b$ 下恰好具有三个非零数字的整数的最大素因子建立有效的下界？
• RQ4 此类整数的 $S$-部分（来自固定集合 $S$ 的素因子幂的乘积）与整个数相比如何？
• RQ5 在较弱的互素条件下，这些结果能否推广到更一般的形式，如 $a^m + b^n + 1$？

主要发现

• 对于任意 $b \geq 2$ 及任意有限素数集合 $S$，在进制 $b$ 下非零数字位数不超过三个的任意大整数 $u_j^{(3)}$，其 $S$-部分满足 $[u_j^{(3)}]_S \leq (u_j^{(3)})^{1 - c_4}$，其中 $c_4 > 0$ 为依赖于 $b$ 和 $S$ 的有效可计算常数。
• 此类整数的最大素因子满足 $P[u_j^{(3)}] > (1 - \varepsilon) \log\log u_j^{(3)} \cdot \frac{\log\log\log u_j^{(3)}}{\log\log\log\log u_j^{(3)}}$，对所有充分大的 $j$ 成立，其中常数 $\varepsilon$ 和依赖于 $b$ 与 $\varepsilon$ 的有效常数。
• 任何满足 $n > n_0$ 且不被 $b$ 整除的整数 $n$，若其为 $\left(1 - \varepsilon\right) \log\log n \cdot \frac{\log\log\log n}{\log\log\log\log n}$-光滑，则其在进制 $b$ 下的表示中至少有四个非零数字。
• 无平方部分 $Q[u_j^{(3)}]$ 满足 $Q[u_j^{(3)}] > \exp\left(c_1 \cdot \log\log u_j^{(3)} \cdot \frac{\log\log\log u_j^{(3)}}{\log\log\log\log u_j^{(3)}}\right)$，对充分大的 $j$ 成立，其中 $c_1 > 0$ 为仅依赖于 $b$ 的有效常数。
• 证明中得出的指数 $c_4$ 的可接受值非常小，表明 $S$-部分具有极强的幂次节省性质。
• 结果是有效的：所有涉及的常数均可由 $b$ 和 $S$ 显式计算，且对所有足够大的索引 $j$ 均一致成立。