[论文解读] On the Diophantine equation $(5pn^{2}-1)^{x}+(p(p-5)n^{2}+1)^{y}=(pn)^{z}$

Elif Kızıldere Mutlu, Gökhan Soydan|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2020

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 2

一句话总结

本文证明了当 $p > 3$ 为满足 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的素数且 $pn \equiv \pm1 \pmod{5}$ 时，指数丢番图方程 $(5pn^2 - 1)^x + (p(p-5)n^2 + 1)^y = (pn)^z$ 仅有解 $(x, y, z) = (1, 1, 2)$。通过雅克比符号的性质与布aker对对数线性型的应用，作者建立了有效上界，并利用 MAGMA 等计算工具验证了有限多个情形，确认在给定条件下解的唯一性。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number with $p>3$, $p\equiv 3\pmod{4}$ and let $n$ be a positive integer. In this paper, we prove that the Diophantine equation $(5pn^{2}-1)^{x}+(p(p-5)n^{2}+1)^{y}=(pn)^{z}$ has only the positive integer solution $(x,y,z)=(1,1,2)$ where $pn \equiv \pm1 \pmod 5$. As an another result, we show that the Diophantine equation $(35n^{2}-1)^{x}+(14n^{2}+1)^{y}=(7n)^{z}$ has only the positive integer solution $(x,y,z)=(1,1,2)$ where $n\equiv \pm 3% \pmod{5}$ or $5\mid n$. On the proofs, we use the properties of Jacobi symbol and Baker's method.

研究动机与目标

• 在特定数论约束下，确定指数丢番图方程 $(5pn^2 - 1)^x + (p(p-5)n^2 + 1)^y = (pn)^z$ 的所有正整数解。
• 通过代数数论方法分析解的结构，拓展关于Pillai型方程的先前结果。
• 利用对数线性型与 $p$-进赋值技术，建立解的上界。
• 通过计算检查在有界参数范围内解的不存在性，确认 $(1,1,2)$ 为唯一解。
• 证明一个推论：在 $n \equiv \pm3 \pmod{5}$ 或 $5 \mid n$ 条件下，特殊情形 $(35n^2 - 1)^x + (14n^2 + 1)^y = (7n)^z$ 仅有解 $(1,1,2)$。

提出的方法

• 应用布aker方法，通过估计代数数对数的线性型，推导出解 $x$、$y$ 和 $z$ 的有效上界。
• 利用雅克比符号分析模 4 和模 5 的同余条件，特别是推导出在某些假设下 $x$ 必为奇数且 $y$ 为偶数。
• 通过布盖奥德的结果运用 $p$-进赋值技术，对涉及代数整数幂的表达式的 $p$-进赋值进行有界估计。
• 将问题转化为研究 $\log v / \log w$ 的有理逼近，利用连分数渐近分数排除潜在解。
• 将原方程转化为涉及 $w^t - v^y = w^2 - v$ 或 $w^z - v^y = w^2 - v$ 的形式，以应用对数不等式。
• 使用 MAGMA 计算系统地检查在推导出的上界范围内的所有候选解，确认除 $(1,1,2)$ 外无其他解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $p > 3$、$p \equiv 3 \pmod{4}$ 且 $pn \equiv \pm1 \pmod{5}$ 条件下，方程 $(5pn^2 - 1)^x + (p(p-5)n^2 + 1)^y = (pn)^z$ 是否存在除 $(1,1,2)$ 外的正整数解？
• RQ2 在这些约束下，$x$、$y$ 和 $z$ 的有效上界如何用 $p$ 和 $n$ 表示？
• RQ3 在特殊情形 $p = 7$ 下，当 $n \equiv \pm3 \pmod{5}$ 或 $5 \mid n$ 时，解 $(1,1,2)$ 是否为唯一解？
• RQ4 雅克比符号与 $p$-进赋值的性质如何限制该指数丢番图方程的可能解？
• RQ5 连分数理论与对数线性型理论在排除此类方程中的虚假解方面可发挥多大作用？

主要发现

• 在 $p > 3$、$p \equiv 3 \pmod{4}$ 且 $pn \equiv \pm1 \pmod{5}$ 条件下，方程 $(5pn^2 - 1)^x + (p(p-5)n^2 + 1)^y = (pn)^z$ 恰好有一个正整数解：$(x, y, z) = (1, 1, 2)$。
• 基于对数估计，当 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 时，解满足 $n \leq 192$；当 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 时，$n \leq 187$。
• 在特殊情形 $p = 7$ 下，当 $n \equiv \pm3 \pmod{5}$ 或 $5 \mid n$ 时，方程 $(35n^2 - 1)^x + (14n^2 + 1)^y = (7n)^z$ 仅有解 $(1,1,2)$。
• 基于对数与 $p$-进赋值的界限，推导出当 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 时 $p < 6307$，当 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 时 $p < 12610$。
• 通过 MAGMA 检查所有在推导上界范围内的候选解，未发现除 $(1,1,2)$ 外的其他解。
• 证明的关键在于：$z/y$ 必须是 $\log v / \log w$ 的一个渐近分数，且当 $y < 2521 \log(pn)$ 时该条件不成立，从而排除了其他解的存在。