[论文解读] On the Discrepancies between POD and Fourier Modes on Aperiodic Domains

Azur Hodžić, Peder Jørgensgaard Olesen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2022

Fluid Dynamics and Vibration Analysis被引用 5

一句话总结

本文挑战了普遍认为POD模态在域尺寸增大时会收敛至非周期域上的傅里叶模态的假设。通过针对平移不变相关核的数值与解析分析，表明POD与傅里叶模态之间的差异强烈受泰勒宏观/微观尺度比（MMSR）支配，低MMSR时差异显著增大——尤其在低雷诺数流动中，POD在重构微观尺度能量含量方面优于傅里叶模态。

ABSTRACT

The application of Fourier analysis in combination with the Proper Orthogonal Decomposition (POD) is investigated. In this approach to turbulence decomposition, which has recently been termed Spectral POD (SPOD), Fourier modes are considered as solutions to the corresponding Fredholm integral equation of the second kind along homogeneous-periodic or homogeneous coordinates. In the present work, the notion that the POD modes formally converge to Fourier modes for increasing domain length is challenged. Numerical results indicate that the discrepancy between POD and Fourier modes along extit{locally} translationally invariant coordinates is coupled to the Taylor macro/micro scale ratio (MMSR) of the kernel in question. Increasing discrepancies are observed for smaller MMSRs, which are characteristic of low Reynolds number flows. It is observed that the asymptotic convergence rate of the eigenspectrum matches the corresponding convergence rate of the exact analytical Fourier spectrum of the kernel in question - even for extremely small domains and small MMSRs where the corresponding DFT spectra suffer heavily from windowing effects. These results indicate that the accumulated discrepancies between POD and Fourier modes play a role in producing the spectral convergence rates expected from Fourier transforms of translationally invariant kernels on infinite domains.

研究动机与目标

• 调查随着域长度增加，POD模态在非周期域上收敛至傅里叶模态的假设是否成立。
• 量化在有限、非周期域上，平移不变相关核背景下POD与傅里叶模态之间的差异。
• 考察泰勒宏观/微观尺度比（MMSR）在决定DFT与特征谱之间谱差异中的作用。
• 评估这些差异对湍流中微观尺度能量重构与降阶建模的影响。
• 评估POD模态的谱收敛行为是否与解析傅里叶谱一致，即使在严重的窗函数效应下亦然。

提出的方法

• 通过修正第二类贝塞尔函数导出的相关函数计算特征谱，以实现对泰勒宏观/微观尺度比（MMSR）的受控变化。
• 推导这些相关函数的傅里叶变换，以提供精确的参考谱用于比较。
• 在不同域长度和MMSR值下，比较离散傅里叶变换（DFT）谱与POD特征谱。
• 采用修改后的相关函数以模拟周期化效应，并评估其对泰勒微尺度估计的影响。
• 对特征谱进行傅里叶展开，以量化重构每个POD特征值所需的傅里叶模态数量。
• 分析第一阶POD模态与零阶谐波（直流分量）之间的发散，以评估相位与振幅失配。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着域尺寸增大，POD模态在非周期域上是否收敛至傅里叶模态？
• RQ2 泰勒宏观/微观尺度比（MMSR）如何影响DFT与POD特征谱之间的谱差异？
• RQ3 DFT谱在多大程度上受到窗函数效应的影响？其与精确解析傅里叶变换的渐近谱行为相比如何？
• RQ4 POD模态是否能比傅里叶模态更准确地重构微观尺度能量含量，特别是在低MMSR核的情况下？
• RQ5 通过DFT对非周期域进行隐式周期化，如何影响泰勒微尺度的估计？

主要发现

• POD模态在非周期域上不会收敛至傅里叶模态，即使在非常大的域尺寸下亦然，这挑战了湍流分析中长期存在的假设。
• 在小泰勒宏观/微观尺度比（MMSR）下，POD与傅里叶模态之间的差异显著更大，而这类MMSR值常见于低雷诺数流动。
• POD模态的特征谱能以高精度再现核函数解析傅里叶变换的渐近谱行为，即使在仅五个积分长度尺度的域上亦然。
• 尽管DFT谱存在严重的窗函数效应，特征谱的收敛速率仍与解析傅里叶谱保持一致。
• 随着MMSR减小，重构给定POD特征值所需的傅里叶模态数量增加，表明傅里叶模态在低MMSR核中效率较低。
• POD模态在重构微观尺度能量含量方面比傅里叶模态更准确，尤其在MMSR较小的核中表现更优，显示出其在该类情形下的优越性。