[论文解读] On the dispersion relation for compressible Navier-Stokes Equations

S Benjelloun, Jean‐Michel Ghidaglia|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文通过推导线性化一维Navier-Stokes方程的色散关系，重新研究了可压缩粘性流体中声波的色散与衰减。结果表明，声波相速度根据普朗特数从绝热值过渡到等温值：当普朗特数较高时，速度趋近于绝热声速；当普朗特数较低时，速度收敛于等温声速，相关修正项通过克努森数与普朗特数的渐近展开获得。

ABSTRACT

In this paper we revisit the classical sound dispersion and attenuation theory due to Stokes [5], 1845, and Kirchhoff [3], 1868, for the propagation of sound in non-ideal fluids. In particular we reformulate the analysis due to Fletcher[2], 1974, showing conditions for which the sound propagates at the isothermal speed of sound. Also we presents asymptotic developments making precise the physical conditions under which the different dispersion and attenuation formulas apply.The more complex case of two-fluid flow is addressed by Benjelloun and Ghidaglia [1] to which the reader is referred.

研究动机与目标

• 通过线性化Navier-Stokes方程重新推导并澄清可压缩粘性流体中声波的色散与衰减。
• 通过重新审视斯托克斯与基尔霍夫的工作以及弗莱彻的分析，解决经典声传播理论中的模糊之处。
• 明确绝热或等温声速公式适用的精确物理条件。
• 基于普朗特数与克努森数，提供相速度与衰减的渐近展开式。
• 阐明热力学系数（如格鲁奈森参数与比热容）在波传播中的作用。

提出的方法

• 在静止状态（平均速度为零）附近对一维可压缩Navier-Stokes方程进行线性化。
• 假设平面波解的形式为 $ W = W_0 \exp i(kx - \omega t) $，从而导出矩阵特征值问题。
• 通过矩阵 $ -i\omega I + ikA + k^2B $ 的特征多项式推导色散关系，其中 $ A $ 与 $ B $ 为描述流体性质的系统矩阵。
• 在普朗特数较大（$ Pr \to \infty $）与较小（$ Pr \to 0 $）的极限下进行渐近分析，以提取相速度与衰减的主导行为。
• 利用热力学恒等式，将压强、熵与温度的扰动表示为密度与熵扰动的函数。
• 引入克努森数 $ Kn \propto k\mu/\rho c $ 以评估流体动力学近似的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种物理条件下，声波在粘性流体中以绝热声速而非等温声速传播？
• RQ2 粘性与热效应如何影响可压缩流体中声波的相速度与衰减？
• RQ3 普朗特数在决定主导声速区域（绝热与等温）方面起什么作用？
• RQ4 在 $ 1/Pr $ 与 $ Pr $ 上的渐近展开如何揭示不同声速区域之间的过渡？
• RQ5 克努森数与流体物性在多大程度上影响声波传播中流体动力学近似的有效性？

主要发现

• 当普朗特数较高（$ Pr \to \infty $）时，声波相速度趋近于绝热声速 $ c(k) $，其修正项按 $ \mathcal{O}(1/Pr) $ 缩放，且衰减主要由粘性主导。
• 当普朗特数较低（$ Pr \to 0 $）时，相速度收敛于等温声速 $ c_T(k) $，其主导修正项与 $ Pr $ 成正比，且热效应主导衰减。
• 在高普朗特数极限下，相速度 $ \omega_R^+/k $ 近似为 $ 1 - \frac{2}{9}(Kn)^2 + \frac{\gamma-1}{2\gamma} \frac{Kn}{Pr} + \mathcal{O}(Kn^2/Pr) $，将流体动力学参数与波色散联系起来。
• 在低普朗特数极限下，$ \omega_R^+/k \approx 1 - \frac{2}{9}(Kn)^2 + \frac{\gamma-1}{3\gamma} Pr + \mathcal{O}(Kn^2 Pr) $，表明向等温行为的过渡。
• 频率虚部 $ \omega_I^0/k $ 在高普朗特数下按 $ -\frac{3k a_1}{2} \frac{1}{Pr} $ 缩放，在低普朗特数下按 $ \frac{3k a_1 \gamma}{2Pr} $ 缩放，表明衰减强烈依赖于热与粘性耗散。
• 分析确认格鲁奈森参数 $ \Gamma $、比热容 $ C_v $ 与热导率 $ \lambda $ 在决定波速与衰减中起关键作用，且其表达式已通过热力学恒等式明确导出。