[论文解读] On the distance from a matrix polynomial to matrix polynomials with two prescribed eigenvalues

E. Kokabifar, Ghasem Barid Loghmani+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文通过引入从矩阵多项式到具有两个指定不同特征值的多项式集合的谱范数距离的下界和上界，扩展了先前关于矩阵多项式特征值扰动的工作。基于奇异值和优化的新型扰动构造方法，计算出紧密包围真实距离的边界，通过数值例子验证，显式扰动可实现目标特征值。

ABSTRACT

Consider an $n imes n$ matrix polynomial $P(λ)$. A spectral norm distance from $P(λ)$ to the set of $n imes n$ matrix polynomials that have a given scalar $μ\in\mathbb{C}$ as a multiple eigenvalue was introduced and obtained by Papathanasiou and Psarrakos. They computed lower and upper bounds for this distance, constructing an associated perturbation of $P(λ)$. In this paper, we extend this result to the case of two given distinct complex numbers $μ_{1}$ and $μ_{2}$. First, we compute a lower bound for the spectral norm distance from $P(λ)$ to the set of matrix polynomials that have $μ_1,μ_2$ as two eigenvalues. Then we construct an associated perturbation of $P(λ)$, such that the perturbed matrix polynomial has two given scalars $μ_1$ and $μ_2$ in its spectrum. Finally, we derive an upper bound for the distance by the constructed perturbation of $P(λ)$. Numerical examples are provided to illustrate the validity of the method.

研究动机与目标

• 将先前关于矩阵多项式到多个特征值距离的工作推广至两个特定复特征值的情形。
• 计算从矩阵多项式到具有两个指定特征值的多项式集合的谱范数距离的可计算下界和上界。
• 构造矩阵多项式的显式扰动，使得扰动后的多项式具有目标特征值，且保持在推导出的距离边界内。
• 通过数值例子验证方法，展示边界的紧密性及扰动的正确性。

提出的方法

• 引入从矩阵多项式 $ P(\lambda) $ 到集合 $ \mathcal{P}_{\mu_1,\mu_2} $ 的谱范数距离，该集合包含具有两个指定不同特征值 $ \mu_1, \mu_2 \in \mathbb{C} $ 的 $ n\times n $ 矩阵多项式。
• 通过结构化矩阵 $ F[P(\mu_1,\mu_2); \gamma] $ 的奇异值分析，推导出距离的下界，该矩阵参数化于 $ \gamma $。
• 构造与 $ P(\lambda) $ 相关的扰动 $ \Delta(\lambda) $，使得扰动后的多项式 $ Q(\lambda) = P(\lambda) + \Delta(\lambda) $ 具有 $ \mu_1 $ 和 $ \mu_2 $ 作为特征值。
• 利用优化（通过 MATLAB 的 fminsearch）寻找使奇异值函数 $ s_k(F[P(\mu_1,\mu_2); \gamma]) $ 最小化的 $ \gamma_* $，从而实现紧密的边界计算。
• 应用加权扰动集 $ \mathcal{B}(P, \varepsilon, w) $，其中非负权重 $ w_j $ 用于控制系数级扰动的范数。
• 通过构造位于扰动集边界且实现目标特征值的显式扰动 $ \Delta_{\gamma_*}(\lambda) $，验证方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定一个矩阵多项式，其到具有两个指定不同特征值的矩阵多项式集合的谱范数距离是多少？
• RQ2 如何利用奇异值分析与优化，高效计算该距离的紧密下界和上界？
• RQ3 能否构造一个矩阵多项式的显式扰动，使得扰动后的多项式具有两个目标特征值，且位于计算出的距离边界内？
• RQ4 当优化参数 $ \gamma_* $ 为零与正值时，边界的行为如何？
• RQ5 计算出的边界在多大程度上是最优的？在何种条件下可获得最优边界？

主要发现

• 对于一个具有随机生成系数的 $ 2\times 2 $ 矩阵多项式，下界为 $ \beta_{\text{low}} = 0.0376 $，上界为 $ \beta_{\text{up}} = 0.2847 $，且 $ \gamma_* = 1.8914 $，证实边界紧密包围了真实距离。
• 构造的扰动 $ \Delta_{1.8914}(\lambda) $ 成功生成了具有特征值 $ \mu_1 = 1 $ 和 $ \mu_2 = 2+i $ 的矩阵多项式 $ Q_{1.8914}(\lambda) $，且位于扰动集的边界上。
• 当 $ \gamma_* = 0 $ 时，方法生成的扰动 $ \Delta_0 $ 的范数为 $ \|\Delta_0\| \approx 4.1545 $，扰动后的多项式具有特征值 $ \mu_1 = 5 $，$ \mu_2 = -1 $，证实了方法的鲁棒性。
• 奇异值 $ s_3(F[P(1,2+i); \gamma_*]) = 4.1132 $ 在 $ \gamma_* = 1.8914 $ 处被最小化，表明该参数选择为边界计算提供了最优性。
• 对引理 2.5 和推论 2.6 的验证显示残差范数分别为 $ 1.5612 \times 10^{-5} $ 和 $ 2.9886 \times 10^{-5} $，证实了理论的一致性。
• 边界不一定是最优的，但真实距离 $ \mathcal{D}(P,\mu_1,\mu_2) $ 必然位于 $ [\beta_{\text{low}}, \beta_{\text{up}}] $ 区间内，且随着 $ \gamma_* $ 的优化，该区间逐渐缩小。