[论文解读] On the Distortion of Voting with Multiple Representative Candidates

Yu Cheng, Shaddin Dughmi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文分析了当候选人从度量空间中的选民群体中独立同分布抽取时，位置投票规则的扭曲问题。它提供了精确的刻画：具有非恒定极限计分规则的投票系统具有恒定的期望扭曲，而具有恒定（非1）极限的系统则具有超恒定扭曲，从而解决了关于 n>2 个代表性候选人的代表性候选问题中的一个开放问题。

ABSTRACT

We study positional voting rules when candidates and voters are embedded in a common metric space, and cardinal preferences are naturally given by distances in the metric space. In a positional voting rule, each candidate receives a score from each ballot based on the ballot's rank order; the candidate with the highest total score wins the election. The cost of a candidate is his sum of distances to all voters, and the distortion of an election is the ratio between the cost of the elected candidate and the cost of the optimum candidate. We consider the case when candidates are representative of the population, in the sense that they are drawn i.i.d. from the population of the voters, and analyze the expected distortion of positional voting rules. Our main result is a clean and tight characterization of positional voting rules that have constant expected distortion (independent of the number of candidates and the metric space). Our characterization result immediately implies constant expected distortion for Borda Count and elections in which each voter approves a constant fraction of all candidates. On the other hand, we obtain super-constant expected distortion for Plurality, Veto, and approving a constant number of candidates. These results contrast with previous results on voting with metric preferences: When the candidates are chosen adversarially, all of the preceding voting rules have distortion linear in the number of candidates or voters. Thus, the model of representative candidates allows us to distinguish voting rules which seem equally bad in the worst case.

研究动机与目标

• 分析当候选人从选民分布中独立同分布抽取时，位置投票规则的期望扭曲。
• 解决关于 n≥3 个代表性候选人的扭曲界限的开放问题。
• 区分在最坏情况设置下表现不佳但在代表性候选人假设下表现良好的投票规则。
• 刻画哪些位置规则在任意度量空间或候选人数量下均能实现恒定期望扭曲。

提出的方法

• 通过在 n→∞ 时对候选人位置和得分进行归一化，定义定义在 [0,1] 上的极限计分规则 g。
• 分析 g 在 (0,1) 上的行为：非恒定 g 意味着恒定扭曲；恒定 g≠1 意味着超恒定扭曲。
• 应用有限 n 的计分规则 g_n 与其极限 g 之间的一致性条件，以限制扭曲。
• 使用概率论和度量空间论证，限制被选举候选人相对于最优候选人的成本。
• 使用分位数分组和得分比较推导扭曲界限。
• 调整证明技术以分析 Borda 计票法和 k-approval 等具体系统，获得紧致界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些位置投票规则在候选人从选民群体中独立同分布抽取时，能实现恒定期望扭曲？
• RQ2 计分规则 g 的极限行为如何决定投票系统的扭曲特性？
• RQ3 为何 Plurality 和 Veto 在代表性候选人下具有超恒定扭曲，尽管在最坏情况设置下其扭曲是有界的？
• RQ4 g_n 到 g 的收敛速率是否可用于细化扭曲刻画？
• RQ5 Borda 计票法在代表性候选人下的紧致扭曲界限是什么？

主要发现

• Borda 计票法具有恒定期望扭曲，对所有 n 的上界为 16，且在 n 增长的极限下上界为 10。
• 当 k=Θ(n) 时，k-approval 具有恒定期望扭曲，而当 k 为常数时，其扭曲以 Ω(n) 的速率增长。
• Plurality 和 Veto 具有超恒定期望扭曲，其增长至少与 n 线性相关。
• 如果极限计分规则 g 在 (0,1) 上为常数且不等于 1，则系统具有超恒定扭曲。
• 当 g≡1 在 (0,1) 上时，g_n 到 g 的收敛速率决定了扭曲的增长，需进行精细化分析。
• 该刻画是紧致的：若 g 在 (0,1) 上非恒定，则意味着恒定扭曲；若 g 为常数但不等于 1，则意味着超恒定扭曲。