[论文解读] On the distribution of extreme values of zeta and $L$-functions in the strip $1/2<\sigma<1$

Youness Lamzouri|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文確立了臨界帶 $1/2 < \sigma < 1$ 內 zeta 函數與 L-函數極端值的精確分佈，顯示 $\log |\zeta(\sigma + it)|$ 的大值可被一個隨機歐拉乘積良好地建模。本文證明尾機率 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ 以 $\exp\left( -A_1(\sigma) \tau^{1/(1-\sigma)} (\log \tau)^{\sigma/(1-\sigma)} \right)$ 的形式衰減，且在 $\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ 範圍內一致成立，支持蒙哥馬利對 $\zeta(\sigma + it)$ 極端次序的猜想。

ABSTRACT

We study the distribution of large (and small) values of several families of $L$-functions on a line $ ext{Re(s)}=\sigma$ where $1/2<\sigma<1$. We consider the Riemann zeta function $\zeta(s)$ in the $t$-aspect, Dirichlet $L$-functions in the $q$-aspect, and $L$-functions attached to primitive holomorphic cusp forms of weight $2$ in the level aspect. For each family we show that the $L$-values can be very well modeled by an adequate random Euler product, uniformly in a wide range. We also prove new $\Omega$-results for quadratic Dirichlet $L$-functions (predicted to be best possible by the probabilistic model) conditionally on GRH, and other results related to large moments of $\zeta(\sigma+it)$.

研究动机与目标

• 理解 $\zeta(s)$ 及相關 $L$-函數在帶 $1/2 < \sigma < 1$ 內極端值的分佈。
• 利用機率模型隨機歐拉乘積 $\zeta(\sigma, X) = \prod_p (1 - X(p)/p^\sigma)^{-1}$ 來建模 $\log |L(\sigma + it)|$ 的分佈，其中 $X(p)$ 為單位圓上獨立同分佈的均勻隨機變數。
• 在廣泛的 $\tau$ 範圍內，建立尾機率 $\Phi_T(\sigma, \tau) = \frac{1}{T} \operatorname{meas}\{ t \in [T,2T] : \log |\zeta(\sigma + it)| \geq \tau \}$ 的精確漸近估計。
• 在 GRH 條件下，證明二次狄利克雷 $L$-函數的新 $\Omega$-結果，並分析 $\zeta(\sigma + it)$ 高階矩的行為。

提出的方法

• 使用機率模型：隨機歐拉乘積 $\zeta(\sigma, X) = \prod_p (1 - X(p)/p^\sigma)^{-1}$，其中 $X(p)$ 為單位圓上獨立同分佈的均勻隨機變數，該乘積在 $\sigma > 1/2$ 時幾乎必然收斂。
• 定義 $A_1(\sigma)$ 為修正貝塞爾函數 $I_0(u)$ 的泛函，其源自 $\mathbb{E}[e^{uX}] = I_0(u)$，並以此建模 $\log |\zeta(\sigma + it)|$ 的尾部分佈衰減。
• 應用矩比較技術，利用 Minkowski 不等式與尾部估計，控制部分和 $\sum_{n \leq x} X(n)/n^\sigma$ 與完整 $\zeta(\sigma, X)$ 之間的差異。
• 透過引理 2.1 的指數矩界與 $\sum dk(n)^2 n^{-2\sigma}$ 的估計，控制以截斷和近似 $\zeta(\sigma + it)$ 的 2k 階矩時的誤差。
• 使用 Hölder 不等式與 $\sum dk(n)^2 n^{-2\sigma}$ 的收斂性，將截斷和與隨機模型的完整矩聯繫起來。
• 分析 $k \approx (\log T)^\sigma$ 時的過渡區段，顯示此方法在該範圍之外因部分和近似誤差增加而失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 $T \to \infty$ 時，$\zeta(\sigma + it)$ 的極端值在 $1/2 < \sigma < 1$ 區間內如何分佈？
• RQ2 對於 $\sigma \in (1/2, 1)$，$\log |\zeta(\sigma + it)|$ 的分佈能否被隨機歐拉乘積準確建模？
• RQ3 在 $\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ 範圍內，尾機率 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ 對於大 $\tau$ 的精確漸近行為為何？
• RQ4 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ 的衰減率是否與蒙哥馬利 $\Omega$-結果所預測的次序一致？能否在整體上證明此點？
• RQ5 對 $\zeta(\sigma + it)$ 矩的漸近性質，其有效範圍為何？在何處因隨機歐拉乘積尾部增長導致方法失效？

主要发现

• 尾機率 $\Phi_T(\sigma, \tau)$ 在 $\tau \leq c_1(\sigma)(\log T)^{1-\sigma}/\log_2 T$ 範圍內一致地以 $\exp\left( -A_1(\sigma) \tau^{1/(1-\sigma)} (\log \tau)^{\sigma/(1-\sigma)} \left(1 + O\left( \frac{1}{\sqrt{\log \tau}} + r(\log T, \tau) \right) \right) \right)$ 衰減，其中 $A_1(\sigma)$ 由修正貝塞爾函數 $I_0(u)$ 衍生。
• 同一漸近形式亦適用於 $\log |\zeta(\sigma + it)|$ 的左尾分佈，以及 $\arg \zeta(\sigma + it)$ 的分佈，顯示極端值行為具有對稱性。
• 該方法確認隨機歐拉乘積模型能準確捕捉臨界帶內 $\zeta(\sigma + it)$ 的分佈，支持蒙哥馬利猜想背後的機率直覺。
• 對於 $\zeta(\sigma + it)$ 的 2k 階矩，漸近式 $\mathbb{E}[|\zeta(\sigma + it)|^{2k}] \sim \sum_{n=1}^\infty d_k(n)^2 n^{-2\sigma}$ 在 $k \leq c((2\sigma - 1)\log T)^\sigma$ 範圍內一致成立，誤差項 $\ll \exp\left( -\frac{\log T}{10k \log_2 T} \right)$。
• 當 $k \geq C(\log T \log_2 T)^\sigma$ 時，該方法失效，因截斷和不再能有效近似完整矩，這是由於尾部貢獻持續增長所致。
• 在 GRH 條件下，證明了二次狄利克雷 $L$-函數的新 $\Omega$-結果，其與機率模型預測一致，暗示該界為最佳可能。