[论文解读] On the distribution of the cardinalities of level sets of the Takagi function

Pieter C. Allaart|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文研究了塔卡吉处处不可微函数的水平集基数分布，表明最常见的有限基数为2，且大小为2的水平集的勒贝格测度介于5/12与35/72之间。通过函数的自相似性推导出一组集合方程以刻画水平集，并提出一种用于求解 $ T(x) = y $ 的迭代算法，同时证明每个正偶数均可作为水平集的基数出现，并在特定条件下建立此类集合的正测度。

ABSTRACT

Let T be Takagi's continuous but nowhere-differentiable function. It is known that almost all level sets (with respect to Lebesgue measure on the range of T) are finite. We show that the most common cardinality of the level sets of T is two, and investigate in detail the set of ordinates y such that the level set at level y has precisely two elements. As a by-product, we obtain a simple iterative procedure for solving the equation T(x)=y. We show further that any positive even integer occurs as the cardinality of some level set, and investigate which cardinalities occur with positive probability if an ordinate y is chosen at random from the range of T. The key to the results is a system of set equations for the level sets, which are derived from the partial self-similarity of T. These set equations yield a system of linear relationships between the cardinalities of level sets at various levels, from which all the results of this paper flow.

研究动机与目标

• 理解塔卡吉函数水平集有限基数的分布。
• 刻画满足水平集 $ L(y) $ 恰好包含两个元素的纵坐标 $ y $ 的集合。
• 确定哪些正偶数作为水平集基数出现，以及其测度如何。
• 基于自相似结构，开发一种系统化方法以求解 $ T(x) = y $。

提出的方法

• 从塔卡吉函数的函数方程及其部分自相似性推导出一组集合方程。
• 利用函数方程 $ T(x) = \frac{1}{2}T(2x) + \phi(2x) $ 在不同尺度间关联水平集。
• 对 $ y \in I_k $ 应用映射 $ \Psi(y) = 4(y - t_k) $，以在尺度间传播水平集结构。
• 使用塔卡吉展开构造求解 $ T(x) = y $ 的迭代算法。
• 运用测度论估计与区间包含关系，以界定集合 $ S_{2n} $ 的勒贝格测度。
• 结合递归分析与仿射变换，证明当 $ n $ 为2的幂或两2的幂之和/差时，$ S_{2n} $ 具有正测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 塔卡吉函数的水平集最常见的有限基数是多少？
• RQ2 在 $ y \in [0, \frac{2}{3}] $ 中，满足 $ |L(y)| = 2 $ 的集合的勒贝格测度是多少？
• RQ3 哪些正偶数可作为塔卡吉函数某个水平集的基数？
• RQ4 对于哪些偶数 $ 2n $，集合 $ \{ y : |L(y)| = 2n \} $ 具有正勒贝格测度？
• RQ5 能否基于函数的自相似结构，推导出一种求解 $ T(x) = y $ 的迭代过程？

主要发现

• 塔卡吉函数水平集最常见的有限基数为2，其勒贝格测度介于 $ \frac{5}{12} \approx 0.4167 $ 与 $ \frac{35}{72} \approx 0.4861 $ 之间。
• 满足 $ |L(y)| = 2 $ 的纵坐标集合 $ S_2 $ 的测度大于 $ \frac{5}{8} = 0.625 $ 且小于 $ \frac{35}{48} \approx 0.729 $，因此在值域上服从均匀测度时，2是概率最高的有限基数。
• 每个正偶数均可作为塔卡吉函数某个水平集的基数出现，且对每个偶基数，存在不可数多个此类水平集。
• 当 $ n $ 为2的幂或两2的幂之和/差时，$ S_{2n} $ 的勒贝格测度为正，但该结论尚未对所有 $ n $ 证明成立。
• 引入了一种塔卡吉展开，使得求解 $ T(x) = y $ 的简单迭代算法成为可能，并与拉加里亚斯和马多克的局部水平集建立了联系。
• 由自相似性导出的集合方程系统在不同层级的基数之间建立了线性关系，构成本文所有结果的基础。