[论文解读] On the Distribution of the Product and the Sum of Generalized Shifted Gamma Random Variables

Pushpa N. Rathie, Arjun K. Rathie+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2013

Fuzzy Systems and Optimization被引用 5

一句话总结

本文引入了一种新的特殊函数——$̂{I}$函数，通过在其Mellin变换中用H函数替代伽马函数，从而将H函数推广为更一般的函数。$̂{I}$函数使得广义移位伽马随机变量之和与积的概率密度函数能够以闭式表达，此前这些表达式在标准特殊函数框架下难以求解，从而扩展了统计建模与随机过程中的分析工具。

ABSTRACT

In general, while obtaining the probability density function of sums and products of shifted random variables, ordinary analytical methods such as Fourier and Mellin transforms tend to provide integrals which cannot be expressed in terms of ordinary Meijer G and H functions. This way, the need of defining new functions which easily enable one to write such integrals in a closed-form is inherent to the development of this area of statistical sciences. By generalizing the Mellin transform which defines the H function, a new function is established. A direct application of the so-called $\\widehat{I}$ is discussed while developing the probability density function of the sum and the product of shifted generalized gamma random variables. Important special cases of the $\\widehat{I}$ and their applications in science are also discussed in order to show the applicability of the function hereby defined.

研究动机与目标

• 利用标准特殊函数解决广义移位伽马随机变量之和与积的分布缺乏闭式解的问题。
• 克服傅里叶变换与Mellin变换在用经典Meijer G函数与H函数表示此类分布时的局限性。
• 开发一类新型特殊函数，以表示由移位随机变量产生的复杂积分。
• 展示$̂{I}$函数在推导广义移位伽马变量之和与积的精确概率密度函数方面的实用性。
• 建立$̂{I}$函数与已知特殊函数（包括H、I、Y以及广义上Incomplete Fox H函数）之间的联系，以验证其通用性与适用性。

提出的方法

• 将$̂{I}$函数定义为一个围道积分，其Mellin变换被积函数中的伽马函数由H函数替代。
• 通过复变量$s$的幂函数形式的H函数乘积，构造$̂{I}$函数的Mellin变换。
• 利用Mellin反演定理，将$̂{I}$函数表示为复平面上的围道积分。
• 应用$̂{I}$函数，通过Mellin变换技术推导广义移位伽马随机变量之和与积的概率密度函数。
• 通过参数特化证明H函数、I函数、Y函数以及广义上Incomplete Fox H函数均为$̂{I}$函数的特例，从而验证其通用性。
• 提出进一步推广形式——$̂{̂{I}}$函数，以实现更广泛的参数化与建模灵活性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新型特殊函数，以闭式表达广义移位伽马随机变量之和与积的概率密度函数？
• RQ2 $̂{I}$函数如何推广已知的特殊函数（如H、I、Y及广义上Incomplete Fox H函数）？
• RQ3 $̂{I}$函数在处理移位随机变量时，相较于标准Meijer G与H函数，具有哪些分析与计算优势？
• RQ4 在无线通信等实际场景中，$̂{I}$函数能否提供比现有函数更精确或更易处理的模型？
• RQ5 $̂{I}$函数能否进一步推广，以适应更广泛的随机模型类别？

主要发现

• 成功地，$̂{I}$函数为广义移位伽马随机变量之和与积的概率密度函数提供了闭式表达。
• $̂{I}$函数通过在其Mellin变换中以H函数替代伽马函数，推广了H函数，从而形成了一类分层的特殊函数。
• 通过参数特化，H函数、I函数、Y函数以及广义上Incomplete Fox H函数均被证明是$̂{I}$函数的特例。
• $̂{I}$函数使得此前无法用经典Meijer G或H函数表达的和与积分布的精确表达式得以推导。
• 该函数在实际建模中具有应用价值，例如在多载波瑞利衰落信道中断容量分析中，其结果推广了基于Incomplete Fox H函数的先前研究。
• 进一步提出$̂{̂{I}}$函数，以实现更灵活的参数化与在高级随机建模中的更广泛应用。