[论文解读] On the Distributions of the Lengths of the Longest Increasing and Decreasing Subsequences in Random Words

Craig A. Tracy, Harold Widom|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 1999

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文推导出在 k 个字母表上的长度为 N 的随机词中，最长弱递增子序列与强递减子序列长度的指数生成函数的托普利茨行列式表示。研究证明这些分布由五阶皮亚诺韦方程控制，并将弱递增情形与拉盖尔随机矩阵系综中的最小特征值联系起来，且当 N → ∞ 时，其极限分布等价于高斯酉系综中的最大特征值。

ABSTRACT

We consider the distributions of the lengths of the longest weakly increasing and strongly decreasing subsequences in words of length N from an alphabet of k letters. (In the limit as k → ∞ these become the corresponding distributions for permutations on N letters.) We find Toeplitz determinant representations for the exponential generating functions (on N) of these distribution functions and show that they are expressible in terms of solutions of Painlevé V equations. We show further that in the weakly increasing case the generating function gives the distribution of the smallest eigenvalue in the k × k Laguerre random matrix ensemble and that the distribution itself has, after centering and normalizing, an N → ∞ limit which is equal to the distribution function for the largest eigenvalue in the k × k Gaussian Unitary Ensemble. I.

研究动机与目标

• 分析在 k 个字母表上长度为 N 的随机词中，最长弱递增子序列与强递减子序列的分布。
• 通过托普利茨行列式推导这些分布函数的指数生成函数。
• 将最长弱递增子序列的分布与 k × k 拉盖尔随机矩阵系综中的最小特征值联系起来。
• 证明在适当的中心化与归一化后，当 N → ∞ 时，其极限分布与 k × k 高斯酉系综中的最大特征值分布一致。

提出的方法

• 通过托普利茨行列式公式推导最长弱递增与强递减子序列分布的指数生成函数。
• 利用可积系统理论，将这些生成函数表示为五阶皮亚诺韦微分方程解的形式。
• 建立最长递增子序列分布与拉盖尔随机矩阵系综中最小特征值分布之间的对应关系。
• 应用渐近分析，证明归一化后的分布收敛于 N → ∞ 时与 GUE 系综相关的特雷曼-威德曼分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着词长 N 和字母表大小 k 的变化，随机词中最长递增与递减子序列的分布行为如何？
• RQ2 这些分布的指数生成函数能否用托普利茨行列式表示？
• RQ3 随机词中最长递增子序列与随机矩阵系综中特征值分布之间存在何种联系？
• RQ4 当 N → ∞ 时，最长递增子序列的极限分布是什么？它与已知的特雷曼-威德曼定律有何关系？

主要发现

• 最长弱递增子序列长度的指数生成函数可表示为托普利茨行列式形式。
• 该生成函数可表示为五阶皮亚诺韦微分方程解的形式。
• 最长弱递增子序列的分布对应于 k × k 拉盖尔随机矩阵系综中最小特征值的分布。
• 在中心化与归一化后，当 N → ∞ 时，最长递增子序列的极限分布与 k × k 高斯酉系综中最大特征值的分布一致。