[论文解读] On the diversity and similarity of mathematical models in science

Inge S. Helland|arXiv (Cornell University)|May 2, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文通過將統計推斷與量子理論透過「最大可訪問概念變量」的概念相連，提出了一套統一的數學模型概念框架。它引入了一種基於觀測者測量的決策理論模型，顯示如何透過源自統計原則的機率狀態重新詮釋量子力學，提供比傳統希爾伯特空間形式更直觀的基礎。

ABSTRACT

In this article, the notion of a mathematical model in science is attempted to be enlightened from several points of view. In particular, it is shown that mathematical models are introduced differently and used differently in different areas of science. In the present article the use of models in statistics is taken as a basis, but links are given to several other areas. Two particular such links are described in some detail here: First the link connected to the chemometrical Partial Least Squares algorithm, a link that now has been generalized to the more sophisticated envelope model. Secondly, statistics, as is well known, relies heavily on making decisions, and it may also in certain cases be connected to a process of taking measurements. A mathematical model for these two activities, connected to the mind of an observer, is introduced. This model is taken further, and shown to be important in a new proposal for a foundation of quantum theory. Quantum mechanics, as seen from this point of view, is described in some detail. The discussion here is close to the discussion in a recent book and in recently published articles by the author.

研究动机与目标

• 澄清數學模型在統計學與量子力學等多種科學領域中的角色。
• 透過識別共享的基礎結構，彌合統計學與量子理論之間的文化與概念差距。
• 基於觀測者心中的決策與測量過程，提出量子力學的新可解釋基礎。
• 示範統計概念如信賴分佈與決策模型如何成為量子態與波姆規則的基礎。
• 主張發展一種超越科學學科邊界、統一數學建模語言。

提出的方法

• 將概念變量 θ 視為透過測量可達最大程度，其結果由如「若我們測量它，θ 會是什麼？」之類的問題定義。
• 引入與尖銳值 θ = u 對應的態向量 |ψ⟩，類似於純量子態。
• 使用觀測算符 A^θ 的特徵空間上的投影算符 Pi 來表示「η = vi」之類的陳述，其中正交投影之和為單位算符。
• 將混合態 ρ 定義為純態投影算符的凸組合：ρ = ∑i pi Pi，其中 pi 為機率（貝葉斯、頻率學派或 fiducial）。
• 應用波姆公式從密度算符 ρ 計算機率，其源自統計推斷的基礎假設。
• 將統計學中的部分最小二乘法（PLS）與包絡模型推廣，以說明統計建模如何啟發量子基礎。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在統計學與量子力學等學科之間統一科學的數學模型？
• RQ2 觀測者的心智與測量在定義量子態中扮演何種角色？
• RQ3 統計決策模型與信賴分佈能否作為量子理論的基礎？
• RQ4 因果關係、決策與最大可訪問變量等概念如何連結統計推斷與量子力學？
• RQ5 是否能透過共同的數學建模語言改善科學領域間的跨學科溝通？

主要发现

• 本文表明，量子態可詮釋為「θ = u」之類的陳述，其中 θ 為最大可訪問的概念變量，提供比抽象希爾伯特空間向量更直觀的替代方案。
• 混合量子態以密度算符 ρ = ∑i pi Pi 表示，其中機率 pi 可詮釋為貝葉斯先驗、後驗或 fiducial 分佈。
• 波姆規則的推導建立在統計原則之上，顯示量子機率源自對測量不確定性的決策理論建模。
• 統計學中的部分最小二乘法（PLS）與包絡模型被證明在結構上類似於量子模型，支持統計與量子建模之間的更深連結。
• 該框架為量子力學提供了新的、可解釋的基礎，避免了傳統表述中的概念困難，特別是測量問題。
• 該方法表明，特別是在統計學與量子物理學中，科學建模可透過測量、決策與可訪問變量的共同原則實現統一。