[论文解读] On the divisibility of odd perfect numbers, quasiperfect numbers and amicable numbers by a high power of a prime

Tomohiro Yamada|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文在指数的约束条件下，为奇完全数、准完全数以及奇偶性相反的互惠互素对的最小素因子建立了明确的上界。通过使用高级筛法——特别是大筛法和塞尔伯格筛法——证明了此类数必须有一个小于由指数的素因子集合加一决定的可计算常数的素因子。

ABSTRACT

We shall give an explicit upper bound for the smallest prime factor of multiperfect numbers of the form $N=p_1^{α_1}\cdots p_s^{α_s} q_1^{β_1}\cdots q_t^{β_t}$ with $β_1, \ldots, β_t$ bounded by a given constant. We shall also give similar results for quasiperfect numbers and relatively prime amicable pairs of opposite parity.

研究动机与目标

• 为奇完全数、准完全数以及奇偶性相反的互惠互素对的最小素因子建立有效上界。
• 通过筛法理论技术，将先前关于指数有界约束的结果扩展为明确且可计算的上界。
• 通过证明在指数约束下此类数必须具有小素因子，从而在特定情况下解决有限性猜想。
• 通过大筛法推导出更紧致、明确的常数，改进先前的界限（例如科恩与麦克丹尼尔的结果）。
• 证明在某些指数条件下，除非存在小素因子，否则此类数不可能超过给定界限。

提出的方法

• 应用大筛法和塞尔伯格筛法，分析多重完全数、准完全数及互惠数中素因子的分布。
• 定义一个有限素数集 $\mathcal{P}$，使得 $\beta_i + 1$ 至少被一个 $p \in \mathcal{P}$ 整除，其中 $\beta_i$ 是素因子分解中的指数。
• 引入 $C_0 = C_0(d,s,n,P,\epsilon)$ 作为复合上界，涉及 $x_1(l)$、$L(\epsilon,n)$ 以及 $\varphi(P)$ 和 $|\mathcal{P}|$ 的指数项。
• 使用参数 $u=2.000007$、$v=7.538$ 和 $B=1.505$ 的筛不等式，以界定等差数列中的素数个数。
• 推导出乘积 $\prod_{p \geq C_1} \frac{p}{p-1}$ 的上界，证明其小于 $2^{1/|\mathcal{P}|}$，从而表明必须存在一个较小的素因子。
• 通过证明其 $\sigma(N)/N$ 比值模 8 避免某些素数同余，将准完全数和互惠数的研究简化为同一框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于指数有界 $\beta_i \leq 4$ 的奇完全数，其最小素因子是多少？
• RQ2 我们能否为满足 $\beta_i + 1$ 被固定有限素数集 $\mathcal{P}$ 中某个素数整除的多重完全数 $N$ 的最小素因子，推导出明确的上界？
• RQ3 在何种条件下，奇偶性相反的准完全数或互惠数可能存在？它们对素因子施加了哪些约束？
• RQ4 筛法，特别是大筛法，如何改进此前对这些数最小素因子上界的估计？
• RQ5 是否可以放宽所有 $\beta_i + 1$ 共享一个公共素因子的假设，同时仍能获得有效的上界？

主要发现

• 对于 $\beta_i \leq 4$ 的奇完全数，其最小素因子的上界为 $\exp(4.97401 \times 10^{10})$，优于先前结果。
• 构造了一个明确的常数 $C_0$，使得任意满足 $h(N) = n/d$ 且 $\beta_i + 1$ 被有限集 $\mathcal{P}$ 中某个素数整除的多重完全数 $N = p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s} q_1^{\beta_1} \cdots q_t^{\beta_t}$，其素因子必小于 $C_0$。
• 对于满足 $\sigma(N) = 2N + 1$ 的准完全数 $N$，若每个 $2\beta_i + 1$ 均被 $\mathcal{P}$ 中的素数整除，则 $N$ 必有素因子小于 $C_1 = x_3^{2310|\mathcal{P}|^2}$，其中 $x_3$ 依赖于 $\mathcal{P}$ 和 $l$。
• 证明表明，对每个 $l \in \mathcal{P}$，有 $\prod_{p \geq C_1, p \in R_l} \frac{p}{p-1} < 2^{1/|\mathcal{P}|}$，这意味着此类数若无小素因子则不可能存在。
• 该方法证实 $\mathcal{P} = \{3\}$ 或 $\{5\}$ 不可能出现在奇完全数中，因为这将要求 $l^4 \mid N$，与小素因子上界矛盾。
• 通过利用恒等式 $\sigma(m)\sigma(n) = (m+n)^2$ 将互惠对的奇偶性相反情形简化为同一框架，并证明 $\sigma(N)/N > 2$ 且模 8 下素因子受限制，从而将结果推广至互惠对。