[论文解读] On the dynamics of codimension one holomorphic foliations with ample normal bundle

Marco Brunella|ArXiv.org|Jun 11, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文研究了在复维度至少为三的紧致凯勒流形上，具有充足法丛的余维一全纯叶状结构，证明此类叶状结构无法保持一个 $C^{2,\beta}$ 黎曼平坦超曲面不变，并表明该法丛在该超曲面的任何邻域内均不能具有正曲率的埃尔米特度量。该结果支持一个更广泛的猜想：在这些条件下，所有叶均会累积到奇点集。

ABSTRACT

We investigate the accumulation to singular points of leaves of codimension one foliations whose normal bundle is ample, with emphasis on the nonexistence of Levi-flat hypersurfaces.

研究动机与目标

• 研究余维一全息叶状结构在法丛充足条件下的叶是否累积到奇点集，将林·内托在 $\mathbb{C}P^n$ 中的结果推广至一般紧致凯勒流形。
• 解决一个猜想：当法丛 $N_{\mathcal{F}}$ 充足时，每个叶均累积到奇点集 $Sing(\mathcal{F})$。
• 排除此类叶状结构保持 $C^{2,\beta}$ 黎曼平坦超曲面不变的可能性。
• 分析法丛的曲率性质与叶状结构动力学之间的关系。
• 探讨阻止此类不变超曲面存在的几何与上同调障碍。

提出的方法

• 利用全息叶状结构及其法丛的理论，特别是 $N_{\mathcal{F}}$ 的充足性，分析其动力行为。
• 应用 Baum–Bott 公式，将 $N_{\mathcal{F}}$ 的第二陈类与奇点集分量的留数联系起来。
• 在与 $Sing(\mathcal{F})$ 不相交的紧致不变集 $\mathcal{M}$ 的补集上应用强强伪凸性论证，假设此类集合存在。
• 分析代表 $N_{\mathcal{F}}$ 的凯勒形式 $\omega$ 的曲率性质，证明 $\omega \wedge \omega$ 在奇点集收缩后成为 $\partial\bar{\partial}$-恰当。
• 利用 $\partial\bar{\partial}$-引理与收缩映射 $\pi: X \to X_0$，若此类超曲面存在，则导出上同调矛盾。
• 考虑在 $M$ 上的黎曼叶状结构的形式与收敛延拓技术，提示可能推广至非不变但光滑的黎曼平坦超曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复维度 $n \geq 3$ 的紧致凯勒流形上，余维一全息叶状结构若具有充足法丛，是否可能保持一个 $C^{2,\beta}$ 实超曲面不变？
• RQ2 法丛 $N_{\mathcal{F}}$ 的充足性是否意味着每个叶均累积到奇点集 $Sing(\mathcal{F})$？
• RQ3 黎曼平坦超曲面的法丛是否可能具有叶方向正曲率的埃尔米特度量？
• RQ4 是否可能将黎曼叶状结构及其法丛作为全纯对象，超越 $C^{\infty}$-光滑的黎曼平坦超曲面？
• RQ5 若紧致不变集 $\mathcal{M}$ 的补集是强伪凸的，且 $N_{\mathcal{F}}$ 充足，则会产生何种上同调障碍？

主要发现

• 在复维度 $n \geq 3$ 的紧致凯勒流形上，余维一全息叶状结构的法丛 $N_{\mathcal{F}}$ 无法在任何 $C^{2,\alpha}$ 实超曲面 $M$ 的邻域内具有正曲率的埃尔米特度量，该超曲面被叶状结构不变。
• 若存在与 $Sing(\mathcal{F})$ 不相交的紧致不变集 $\mathcal{M}$，则 $X \setminus \mathcal{M}$ 是强伪凸的，且代表 $N_{\mathcal{F}}$ 的凯勒形式 $\omega$ 满足 $\omega \wedge \omega = \sum \mu_j \delta_{Z_j} + i\partial\bar{\partial}S$。
• 在通过 $\pi: X \to X_0$ 将奇点集 $Z = Sing(\mathcal{F})$ 收缩为点后，当前 $\pi_*(\omega \wedge \omega)$ 成为 $\partial\bar{\partial}$-恰当，而这是从凯勒形式导出的严格正 $(2,2)$-当前，极不可能成立。
• 直接像 $\pi_*(\omega^\wedge n)$ 是严格正测度，因此不可能是 $\partial\bar{\partial}$-恰当，表明若此类 $\mathcal{M}$ 存在，则存在上同调不一致。
• 该结果意味着 $\mathcal{M}$ 不能是 $C^{2,\alpha}$ 类别的黎曼平坦超曲面，即使其非全局不变，只要法丛具有叶方向正曲率。
• 本文表明，此类超曲面的不存在性由上同调障碍与形式延拓技术所支持，尽管完整推广仍有待解决。