[论文解读] On the Dynamics of G-Solenoids. Applications to Delone Sets

Riccardo Benedetti, Jean-Marc Gambaudo|ArXiv.org|Aug 30, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 41

一句话总结

本文提出了一种针对$mathbb{G}$-solenoids（具有与李群$mathbb{G}$等距的叶的层叠空间）的动力系统框架，并将其表示为分支流形的射影极限。通过射影极限中$dim(\mathbb{G})$-同调群的正锥体刻画了横截不变测度，提供了唯一遍历性的判别准则。关键结果推广至Delone集：$mathbb{R}^d$中任意最小、重复、非周期性的有限类型Delone集，均与$mathbb{Z}^d$中的一个集合轨道等价，推广了Sadun和Williams的结果。

ABSTRACT

A G-solenoid is a laminated space whose leaves are copies of a single Lie group G, and whose transversals are totally disconnected sets. It inherits a G-action and can be considered as dynamical system. Free Z^d-actions on the Cantor set as well as a large class of tiling spaces possess such a structure of G-solenoid. We show that a G-solenoid can be seen as a projective limit of branched manifolds modeled on G. This allows us to give a topological description of the transverse invariant measures associated with a G-solenoid in terms of a positive cone in the projective limit of the dim(G)-homology groups of these branched manifolds. In particular we exhibit a simple criterion implying unique ergodicity. A particular attention is paid to the case when the Lie group $G$ is the group of affine orientation preserving isometries of the Euclidean space or its subgroup of translations.

研究动机与目标

• 开发$mathbb{G}$-solenoids的拓扑与动力学框架，将其视为具有李群叶的层叠空间。
• 利用分支流形的射影极限中的同调，刻画$mathbb{G}$-solenoids上的横截不变测度。
• 基于同调中的正锥体，建立唯一遍历性的判别准则。
• 将该框架应用于有限$mathbb{G}$-类型的Delone集，特别是$mathbb{R}^d$中的情形，并证明其与基于格点的集合轨道等价。
• 将Sadun和Williams关于非周期性Delone集轨道等价性的结果，推广至更广泛的$mathbb{G}$-solenoids类。

提出的方法

• 通过具有良好定向的矩形图册的方框分解，将$mathbb{G}$-solenoids表示为以李群$mathbb{G}$为模型的分支流形的射影极限。
• 通过这些分支流形的$dim(\mathbb{G})$-同调群的射影极限中的正锥体，定义横截不变测度。
• 利用$mathbb{G}$在solenoid上的作用，诱导出具有最小性与扩张性等性质的动力系统。
• 在叶上构造度量$g$，以确保方框分解中矩形大小的可公度性，从而实现到$d$-环面的投影。
• 通过使用面平行于标准基的矩形方框，并确保有限且不相交的覆盖，将该构造应用于$mathbb{R}^d$-solenoids。
• 通过调整度量使矩形大小可公度，从而实现到$d$-环面的投影，建立轨道等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过射影极限构造中的同调，对$mathbb{G}$-solenoid上的横截不变测度进行拓扑刻画？
• RQ2 分支流形结构的何种条件可导致$mathbb{G}$-solenoid的唯一遍历性？
• RQ3 能否证明任意最小的$mathbb{R}^d$-solenoid，经由度量变形后，与纤维化于$d$-环面的solenoid轨道等价？
• RQ4 何种条件下，有限$mathbb{G}$-类型的Delone集会诱导出具有良好横截测度结构的$mathbb{G}$-solenoid？
• RQ5 是否每个强非周期性、重复的$mathbb{R}^d$-有限类型的Delone集均与$mathbb{Z}^d$中的一个集合轨道等价？

主要发现

• $mathbb{G}$-solenoid可表示为以$mathbb{G}$为模型的分支流形的射影极限，从而实现对横截测度的同调描述。
• 横截不变测度与这些分支流形的$dim(\mathbb{G})$-同调群射影极限中的正锥体之间存在一一对应关系。
• 从该正锥体的结构中导出了唯一遍历性的简单判别准则。
• 任意最小的$mathbb{R}^d$-solenoid均可被分解为有限个两两不相交、闭合的矩形方框，且其闭包覆盖整个solenoid。
• 通过调整叶上的度量，可使方框分解中矩形的大小可公度，从而实现到$d$-环面的投影，并建立轨道等价性。
• 作为推论，每个强非周期性、重复的$mathbb{R}^d$-有限类型的Delone集均与$mathbb{Z}^d$中的一个Delone集轨道等价，从而恢复了Sadun和Williams的结果。